Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t) representa a saída do sistema, e x(t) é a entrada do sistema.
y(t)=\int_{-\infty}^{2 t} x(\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
y(t)=\int_{-\infty}^{2t}x(\tau)\,d\tau
quanto a ser (1) sem memória, (2) invariante no tempo, (3) linear, (4) causal e (5) estável. Vamos usar definições padrão de teoria de sistemas contínuos para cada propriedade.

Passo 2

Memória: um sistema é sem memória (memoryless) se y(t) depende apenas de x(t). Aqui, y(t) envolve a integral de x(\tau) para \tau variando de -\infty até 2t, ou seja, depende de x(\tau) com \tau\neq t. Logo, o sistema tem memória, isto é, não é sem memória.

Passo 3

Invariância no tempo: seja x_1(t)\mapsto y_1(t). Considere x_2(t)=x_1(t-t_0). Então
y_2(t)=\int_{-\infty}^{2t}x_2(\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{2t}x_1(\tau-t_0)\,d\tau.
Fazendo mudança de variável u=\tau-t_0, obtemos
y_2(t)=\int_{-\infty}^{2t-t_0}x_1(u)\,du,
enquanto que y_1(t-t_0)=\int_{-\infty}^{2(t-t_0)}x_1(u)\,du=\int_{-\infty}^{2t-2t_0}x_1(u)\,du. Como 2t-t_0\neq2t-2t_0 em geral, recuperamos y_2(t)\neq y_1(t-t_0). Portanto o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Linearidade: a operação
x(t)\mapsto\int_{-\infty}^{2t}x(\tau)\,d\tau
é uma integral linear. Ou seja, se x_a\mapsto y_a e x_b\mapsto y_b, então para quaisquer escalares a,b \int_{-\infty}^{2t}\bigl(a\,x_a(\tau)+b\,x_b(\tau)\bigr)\,d\tau =a\,y_a(t)+b\,y_b(t).
Logo o sistema é linear.

Passo 5

Causalidade: um sistema é causal se y(t) depende apenas de x(\tau) para \tau\le t. Aqui, para t>0, o limite superior da integral é 2t>t, o que faz y(t) depender de x(\tau) em \tau\in(t,2t], ou seja de valores futuros de x. Logo o sistema não é causal.

Passo 6

Estabilidade BIBO: suponha |x(t)|\le B<\infty para todo t. Então
|y(t)|=\Bigl|\int_{-\infty}^{2t}x(\tau)\,d\tau\Bigr| \le\int_{-\infty}^{2t}|x(\tau)|\,d\tau \le B\int_{-\infty}^{2t}d\tau.
Como \int_{-\infty}^{2t}d\tau=+\infty, em geral |y(t)| pode ser infinito mesmo que B seja finito. Logo não há garantia de saída limitada, e o sistema não é estável."]))print( default_api.SolutionSteps( solution_steps=[

Passo 7

Memória: um sistema é sem memória (memoryless) se y(t) depende apenas de x(t). Aqui, y(t) envolve a integral de x(\tau) para \tau variando de -\infty até 2t, ou seja, depende de x(\tau) com \tau\neq t. Logo, o sistema tem memória, isto é, não é sem memória.

Resposta

(1) Sem memória: não
(2) Invariante no tempo: não
(3) Linear: sim
(4) Causal: não
(5) Estável: não

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