Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo,
representa a saída do sistema, e
é a entrada do sistema.
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Passo 1
O enunciado dá o sistema de tempo contínuo
e pede para verificar as seguintes propriedades:
- Sem memória
- Invariante no tempo
- Linear
- Causal
- Estável
Para cada uma, usaremos as definições padrão:
- Sem memória:
depende apenas de , não de valores passados ou futuros de . - Invariante no tempo: se a entrada é atrasada em
, a saída também deve atrasar-se em sem alteração de forma. - Linear: obedece superposição e homogeneidade.
- Causal:
em um instante depende apenas de para . - Estável (BIBO): toda entrada limitada gera saída limitada.
Passo 2
Verificamos a propriedade sem memória. Aqui
depende de
apenas no mesmo instante
, e não de
para
. Logo é um sistema sem memória.
Passo 3
Testamos invariância no tempo. Seja
. A saída correspondente é
Por outro lado, atrasar a saída original dá
Como
em geral, temos
logo o sistema não é invariante no tempo.
Passo 4
Analisamos a linearidade. Para entradas
e escalares
,
Portanto o sistema é linear.
Passo 5
Checamos a causalidade. A saída neste instante
usa apenas
(e o fator
, que é conhecido). Não há dependência de valores futuros
para
. Logo é causal.
Passo 6
Verificamos a estabilidade BIBO. Se
para todo
, então
Logo a saída é também limitada, e o sistema é estável.
Resposta
- Sem memória: sim
- Invariante no tempo: não
- Linear: sim
- Causal: sim
- Estável: sim