Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t) representa a saída do sistema, e x(t) é a entrada do sistema.
y(t)=[\cos (3 t)] x(t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema de tempo contínuo
y(t) = [\cos(3t)]\,x(t)
e pede para verificar as seguintes propriedades:
  1. Sem memória
  2. Invariante no tempo
  3. Linear
  4. Causal
  5. Estável
Para cada uma, usaremos as definições padrão:
  • Sem memória: y(t) depende apenas de x(t), não de valores passados ou futuros de x.
  • Invariante no tempo: se a entrada é atrasada em \tau, a saída também deve atrasar-se em \tau sem alteração de forma.
  • Linear: obedece superposição e homogeneidade.
  • Causal: y(t) em um instante t depende apenas de x(\tau) para \tau \le t.
  • Estável (BIBO): toda entrada limitada gera saída limitada.

Passo 2

Verificamos a propriedade sem memória. Aqui
y(t) = \cos(3t)\,x(t)
depende de x(t) apenas no mesmo instante t, e não de x(\tau) para \tau \neq t. Logo é um sistema sem memória.

Passo 3

Testamos invariância no tempo. Seja x_1(t)=x(t-\tau). A saída correspondente é
y_1(t)=\cos(3t)\,x(t-\tau).
Por outro lado, atrasar a saída original dá
y(t-\tau)=\cos\bigl(3(t-\tau)\bigr)\,x(t-\tau) =\cos(3t-3\tau)\,x(t-\tau).
Como \cos(3t)\neq\cos(3t-3\tau) em geral, temos
y_1(t)\neq y(t-\tau),
logo o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Analisamos a linearidade. Para entradas x_1,x_2 e escalares a,b,
y\bigl(a x_1 + b x_2\bigr) =\cos(3t)\bigl[a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\bigr] =a\,\cos(3t)x_1(t)+b\,\cos(3t)x_2(t) =a\,y_1(t)+b\,y_2(t).
Portanto o sistema é linear.

Passo 5

Checamos a causalidade. A saída neste instante t usa apenas x(t) (e o fator \cos(3t), que é conhecido). Não há dependência de valores futuros x(\tau) para \tau>t. Logo é causal.

Passo 6

Verificamos a estabilidade BIBO. Se \lvert x(t)\rvert\le M<\infty para todo t, então
\lvert y(t)\rvert =\bigl|\cos(3t)\bigr|\;\lvert x(t)\rvert \le 1\cdot M = M.
Logo a saída é também limitada, e o sistema é estável.

Resposta

  1. Sem memória: sim
  2. Invariante no tempo: não
  3. Linear: sim
  4. Causal: sim
  5. Estável: sim

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