Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t) representa a saída do sistema, e x(t) é a entrada do sistema.
y(t)=x(t / 3)

Passo 1

O enunciado nos apresenta um sistema de tempo contínuo cuja saída é dada por
y(t) = x\bigl(t/3\bigr),
e pede para verificar as seguintes propriedades: sem memória, invariante no tempo, linear, causal e estável. Vamos testar cada definição clássica de sistemas para este caso.

Passo 2

Verificar se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se, para cada instante t, a saída y(t) depende apenas da entrada no mesmo instante t, isto é, de x(t). Aqui temos
y(t) = x\bigl(t/3\bigr).
Como em geral t/3 \neq t, a saída em t depende de valores de entrada em instantes diferentes de t. Logo, o sistema possui memória, ou seja, não é sem memória.

Passo 3

Verificar se o sistema é invariante no tempo. Seja um deslocamento t_0. Definimos a entrada deslocada
x_1(t) = x(t - t_0)
e sua saída associada
y_1(t) = x_1\bigl(t/3\bigr) = x\bigl(t/3 - t_0\bigr).
Por outro lado, a saída deslocada do sistema original seria
y(t - t_0) = x\bigl((t - t_0)/3\bigr) = x\bigl(t/3 - t_0/3\bigr).
Como
t/3 - t_0 \neq t/3 - t_0/3
para todo t_0\neq0, não se tem y_1(t)=y(t-t_0). Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Verificar se o sistema é linear. Precisamos checar superposição e homogeneidade. Tome duas entradas x_1 e x_2 e constantes escalares a e b. A saída para a\,x_1 + b\,x_2 é
T\{a\,x_1 + b\,x_2\}(t) = \bigl(a\,x_1 + b\,x_2\bigr)\bigl(t/3\bigr) = a\,x_1\bigl(t/3\bigr) + b\,x_2\bigl(t/3\bigr) = a\,T\{x_1\}(t) + b\,T\{x_2\}(t).
Isso prova que o sistema satisfaz a superposição e é, portanto, linear.

Passo 5

Verificar se o sistema é causal. Um sistema é causal se, para cada t_0, y(t_0) depende apenas de x(\tau) com \tau\le t_0. Aqui
y(t_0) = x\bigl(t_0/3\bigr).
Para t_0<0, observa-se que t_0/3>t_0, o que significa que a saída em t_0 depende de valores de entrada futuros. Logo, o sistema não é causal.

Passo 6

Verificar se o sistema é estável (BIBO). Assuma que a entrada é limitada, isto é, existe M tal que \lvert x(t)\rvert \le M para todo t. Então
\lvert y(t)\rvert = \lvert x(t/3)\rvert \le M
para todo t. Assim, a saída também é limitada, e o sistema é estável.

Resposta

Sem memória: não
Invariante no tempo: não
Linear: sim
Causal: não
Estável: sim

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