Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo,
representa a saída do sistema, e
é a entrada do sistema.
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Passo 1
O enunciado nos apresenta um sistema de tempo contínuo cuja saída é dada por
e pede para verificar as seguintes propriedades: sem memória, invariante no tempo, linear, causal e estável. Vamos testar cada definição clássica de sistemas para este caso.
Passo 2
Verificar se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se, para cada instante
, a saída
depende apenas da entrada no mesmo instante
, isto é, de
. Aqui temos
Como em geral
, a saída em
depende de valores de entrada em instantes diferentes de
. Logo, o sistema possui memória, ou seja, não é sem memória.
Passo 3
Verificar se o sistema é invariante no tempo. Seja um deslocamento
. Definimos a entrada deslocada
e sua saída associada
Por outro lado, a saída deslocada do sistema original seria
Como
para todo
, não se tem
. Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 4
Verificar se o sistema é linear. Precisamos checar superposição e homogeneidade. Tome duas entradas
e
e constantes escalares
e
. A saída para
é
Isso prova que o sistema satisfaz a superposição e é, portanto, linear.
Passo 5
Verificar se o sistema é causal. Um sistema é causal se, para cada
,
depende apenas de
com
. Aqui
Para
, observa-se que
, o que significa que a saída em
depende de valores de entrada futuros. Logo, o sistema não é causal.
Passo 6
Verificar se o sistema é estável (BIBO). Assuma que a entrada é limitada, isto é, existe
tal que
para todo
. Então
para todo
. Assim, a saída também é limitada, e o sistema é estável.
Resposta
Sem memória: não
Invariante no tempo: não
Linear: sim
Causal: não
Estável: sim
Invariante no tempo: não
Linear: sim
Causal: não
Estável: sim