Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t) representa a saída do sistema, e x(t) é a entrada do sistema.
y(t)=\frac{d x(t)}{d t}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de tempo contínuo cuja saída é
y(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}
e pede para determinar se ele é:
(1) sem memória, (2) invariante no tempo, (3) linear, (4) causal e (5) estável.
Vamos aplicar as definições de cada propriedade: memória, invariância temporal, linearidade, causalidade e estabilidade BIBO.

Passo 2

Verificamos se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se, para cada instante t, y(t) depende apenas de x(t). Aqui
y(t)=\frac{d\,x(t)}{d\,t}
depende de valores de x em instantes próximos a t, não só de x(t). Portanto ele não é sem memória.

Passo 3

Testamos a invariância no tempo. Seja uma entrada deslocada x_{1}(t)=x(t-t_{0}). A saída correspondente é
y_{1}(t)=\frac{d}{d\,t}x_{1}(t) =\frac{d}{d\,t}x(t-t_{0}) =x'(t-t_{0})
e isso equivale a y(t-t_{0}). Logo o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Analisamos a linearidade. A derivada satisfaz
\frac{d}{d\,t}\bigl[a\,x_{1}(t)+b\,x_{2}(t)\bigr] =a\,\frac{d\,x_{1}(t)}{d\,t}+b\,\frac{d\,x_{2}(t)}{d\,t}.
Portanto o sistema é linear.

Passo 5

Verificamos a causalidade. Um sistema causal não pode usar valores futuros de x. A definição de derivada em t é
\lim_{h\to0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h},
que envolve x(t+h) para h>0. Ou seja, precisa de valores de x em instantes maiores que t. Logo o sistema não é causal.

Passo 6

Testamos a estabilidade BIBO: se \lvert x(t)\rvert\le B para todo t, queremos saber se \lvert y(t)\rvert fica limitada. Considere
x(t)=\sin\bigl(t^{2}\bigr),
que satisfaz \lvert x(t)\rvert\le1, mas
y(t)=\frac{d}{d\,t}\sin(t^{2})=2\,t\cos(t^{2})
não é limitado (cresce sem limite quando \lvert t\rvert\to\infty). Portanto o sistema não é estável.

Resposta

(1) Sem memória: não
(2) Invariante no tempo: sim
(3) Linear: sim
(4) Causal: não
(5) Estável: não

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