Neste capítulo, apresentamos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais dessas propriedades são válidas e quais nāo sāo para cada um dos sistemas de tempo contínuo a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo,
representa a saída do sistema, e
é a entrada do sistema.
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Passo 1
O enunciado dá um sistema de tempo contínuo cuja saída é
e pede para determinar se ele é:
(1) sem memória, (2) invariante no tempo, (3) linear, (4) causal e (5) estável.
Vamos aplicar as definições de cada propriedade: memória, invariância temporal, linearidade, causalidade e estabilidade BIBO.
(1) sem memória, (2) invariante no tempo, (3) linear, (4) causal e (5) estável.
Vamos aplicar as definições de cada propriedade: memória, invariância temporal, linearidade, causalidade e estabilidade BIBO.
Passo 2
Verificamos se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se, para cada instante
,
depende apenas de
. Aqui
depende de valores de
em instantes próximos a
, não só de
. Portanto ele não é sem memória.
Passo 3
Testamos a invariância no tempo. Seja uma entrada deslocada
. A saída correspondente é
e isso equivale a
. Logo o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Analisamos a linearidade. A derivada satisfaz
Portanto o sistema é linear.
Passo 5
Verificamos a causalidade. Um sistema causal não pode usar valores futuros de
. A definição de derivada em
é
que envolve
para
. Ou seja, precisa de valores de
em instantes maiores que
. Logo o sistema não é causal.
Passo 6
Testamos a estabilidade BIBO: se
para todo
, queremos saber se
fica limitada. Considere
que satisfaz
, mas
não é limitado (cresce sem limite quando
). Portanto o sistema não é estável.
Resposta
(1) Sem memória: não
(2) Invariante no tempo: sim
(3) Linear: sim
(4) Causal: não
(5) Estável: não
(2) Invariante no tempo: sim
(3) Linear: sim
(4) Causal: não
(5) Estável: não