Neste caso, não teremos curvas de nível, mas sim superfícies de nível, ou seja, a superfície de nível c de f é o conjunto dos pontos (x, y, z) \in A para os quais f(x, y, z)=c.
Exemplo 41. Seja f(x, y, z)=y. As superfícies de nível são planos y=c.

Passo 1

Enunciado dado: “Seja f(x,y,z)=y. As superfícies de nível são planos y=c.”
O que o problema pede (implícito): descrever as superfícies de nível da função f, ou seja, para um valor fixo c\in\mathbb{R} caracterizar o conjunto dos pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=c.
Informações relevantes fornecidas: a própria definição da função f — para cada ponto em \mathbb{R}^3 o valor de f é a coordenada y.

Passo 2

Definição importante (aula rápida): a superfície de nível de f correspondente a um valor c é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid f(x,y,z)=c\}.
Isto significa: fixamos um número c e pegamos todos os pontos do espaço cuja imagem pela função vale exatamente c. No caso de funções de duas variáveis isso gera curvas de nível; em três variáveis gera superfícies de nível.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto f(x,y,z)=y. Impomos a igualdade
f(x,y,z)=c \quad\Longrightarrow\quad y=c.
Ou seja, a equação implícita da superfície de nível é simplesmente y=c.

Passo 4

Interpretação geométrica (passo-a-passo): a equação y=c significa que a coordenada y é fixa e as coordenadas x e z são livres. Portanto, o conjunto de pontos (x,y,z) com y=c é um plano paralelo ao plano xz (o plano formado por variar x e z e manter y constante). Exemplo concreto: para c=0 obtemos o plano y=0, que é exatamente o plano xz.

Passo 5

Propriedade do vetor normal (aula curta sobre gradiente): para superfícies de nível de uma função f diferenciável, o gradiente \nabla f é perpendicular à superfície de nível. Calculemos o gradiente de f:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Como f(x,y,z)=y, temos \partial f/\partial x=0, \partial f/\partial y=1, \partial f/\partial z=0. Logo
\nabla f(x,y,z)=(0,1,0).
Isto confirma que o vetor normal a cada superfície de nível y=c aponta na direção do eixo y, ou seja, as superfícies são perpendiculares ao eixo y — exatamente planos horizontais.

Passo 6

Forma paramétrica e vetores tangentes (para você saber como trabalhar em prova): uma parametrização natural da superfície y=c é
\mathbf{r}(u,v)=(u,c,v),
onde u e v variam livremente em \mathbb{R}. Os vetores tangentes são
\mathbf{r}_u=(1,0,0),\qquad \mathbf{r}_v=(0,0,1).
O produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(0,-1,0) é paralelo a (0,1,0)=\nabla f, confirmando novamente que o normal está na direção do eixo y.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar e dicas para prova:
  • Para c=0: superfície de nível \{(x,y,z)\mid y=0\} é o plano xz.
  • Para c=1: superfície de nível \{(x,y,z)\mid y=1\} é o plano paralelo ao xz deslocado uma unidade no eixo y.
    Dicas: em provas, ao ver f(x,y,z) igual a uma das coordenadas (como x, y ou z), as superfícies de nível serão sempre planos do tipo “uma coordenada igual a constante”. Procedimento rápido: escreva f(x,y,z)=c, isole a coordenada e identifique o plano.

Passo 8

Motivação geométrica intuitiva e ânimo: pense em fatias horizontais do espaço — cada valor de c é uma fatia (um plano) diferente. Não se assuste: sempre que a função retorna só uma coordenada, a superfície de nível é simples e fácil de visualizar. Você já está mandando bem ao reconhecer isso rapidamente!

Resposta

As superfícies de nível são os planos \,y=c\, para cada c\in\mathbb{R}.

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