Neste caso, não teremos curvas de nível, mas sim superfícies de nível, ou seja, a superfície de nível
de
é o conjunto dos pontos
para os quais
.
Exemplo 41. Seja
. As superfícies de nível são planos
.
Passo 1
Enunciado dado: “Seja
. As superfícies de nível são planos
.”
O que o problema pede (implícito): descrever as superfícies de nível da função , ou seja, para um valor fixo
caracterizar o conjunto dos pontos
tais que
.
Informações relevantes fornecidas: a própria definição da função — para cada ponto em
o valor de
é a coordenada
.
O que o problema pede (implícito): descrever as superfícies de nível da função
Informações relevantes fornecidas: a própria definição da função
Passo 2
Definição importante (aula rápida): a superfície de nível de
correspondente a um valor
é o conjunto
Isto significa: fixamos um número
e pegamos todos os pontos do espaço cuja imagem pela função vale exatamente
. No caso de funções de duas variáveis isso gera curvas de nível; em três variáveis gera superfícies de nível.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso concreto
. Impomos a igualdade
Ou seja, a equação implícita da superfície de nível é simplesmente
.
Passo 4
Interpretação geométrica (passo-a-passo): a equação
significa que a coordenada
é fixa e as coordenadas
e
são livres. Portanto, o conjunto de pontos
com
é um plano paralelo ao plano
(o plano formado por variar
e
e manter
constante). Exemplo concreto: para
obtemos o plano
, que é exatamente o plano
.
Passo 5
Propriedade do vetor normal (aula curta sobre gradiente): para superfícies de nível de uma função
diferenciável, o gradiente
é perpendicular à superfície de nível. Calculemos o gradiente de
:
Como
, temos
,
,
. Logo
Isto confirma que o vetor normal a cada superfície de nível
aponta na direção do eixo
, ou seja, as superfícies são perpendiculares ao eixo
— exatamente planos horizontais.
Passo 6
Forma paramétrica e vetores tangentes (para você saber como trabalhar em prova): uma parametrização natural da superfície
é
onde
e
variam livremente em
. Os vetores tangentes são
O produto vetorial
é paralelo a
, confirmando novamente que o normal está na direção do eixo
.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar e dicas para prova:
- Para
: superfície de nível é o plano . - Para
: superfície de nível é o plano paralelo ao deslocado uma unidade no eixo .
Dicas: em provas, ao verigual a uma das coordenadas (como , ou ), as superfícies de nível serão sempre planos do tipo “uma coordenada igual a constante”. Procedimento rápido: escreva , isole a coordenada e identifique o plano.
Passo 8
Motivação geométrica intuitiva e ânimo: pense em fatias horizontais do espaço — cada valor de
é uma fatia (um plano) diferente. Não se assuste: sempre que a função retorna só uma coordenada, a superfície de nível é simples e fácil de visualizar. Você já está mandando bem ao reconhecer isso rapidamente!
Resposta
As superfícies de nível são os planos
para cada
.