Exemplo 39. Obtenha o gráfico e as curvas de nível c_{1}=1, c_{2}=4 e c_{3}=-2 da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}.
Solução: Para as curvas de nível, basta fazer f(x, y)=x^{2}+y^{2}=c_{i}, i=1,2,3. Note que uma destas curvas é o conjunto vazio e as outras duas são circunferências em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente:
  1. Obter o gráfico da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} (ou seja, desenhar a superfície em \mathbb{R}^{3} dada por z=f(x,y)).
  2. Obter as curvas de nível correspondentes a c_{1}=1, c_{2}=4 e c_{3}=-2; isto é, os conjuntos \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid f(x,y)=c_{i}\} para cada i.
Informações dadas no enunciado:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • As constantes de nível são c_{1}=1, c_{2}=4 e c_{3}=-2.
Nada mais foi pedido (por exemplo, não foi pedido cálculo de derivadas nem otimização), só o gráfico da superfície e as curvas de nível solicitadas.

Passo 2

O que é uma curva de nível e como obtê-la (mini-aula):
  • Definição: para uma função de duas variáveis f(x,y), a curva de nível associada ao valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
  • Interpretação geométrica: no gráfico da superfície z=f(x,y), a curva de nível f(x,y)=c é a interseção da superfície com o plano horizontal z=c. Ou seja, se você cortar a superfície por um plano paralelo ao plano xy, a linha de corte é a curva de nível.
  • Método prático: substituir f(x,y)=x^{2}+y^{2} por c e resolver a equação resultante para (x,y).
Agora aplicamos isso ao nosso f.

Passo 3

Curva de nível para c_{1}=1:
  • Substituímos c=1 na definição:
x^{2}+y^{2}=1.
  • Interpretação simples: esta é a equação padrão de uma circunferência no plano xy com centro na origem e raio 1.
  • Forma paramétrica (útil para desenhar): podemos escrever
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Conclusão dessa etapa: c_{1}=1 corresponde à circunferência de centro (0,0) e raio 1.

Passo 4

Curva de nível para c_{2}=4:
  • Substituímos c=4:
x^{2}+y^{2}=4.
  • Esta é também uma circunferência com centro na origem, agora de raio \sqrt{4}=2.
  • Forma paramétrica:
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Conclusão: c_{2}=4 é a circunferência centrada em (0,0) e raio 2.

Passo 5

Curva de nível para c_{3}=-2:
  • Substituímos c=-2:
x^{2}+y^{2}=-2.
  • Observação importante (mini-aula sobre sinal): para quaisquer números reais x e y, temos x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0. Portanto x^{2}+y^{2}\ge 0 para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Logo não existem (x,y) que satisfaçam x^{2}+y^{2}=-2.
  • Conclusão: a curva de nível para c_{3}=-2 é o conjunto vazio, denotado por \varnothing.

Passo 6

Descrição e construção do gráfico da superfície z=x^{2}+y^{2} (como desenhar e entender):
  • Tipo de superfície: z=x^{2}+y^{2} é um paraboloide circular que abre para cima (às vezes chamado de “bacia” ou “tigela”). O vértice está em (0,0,0).
  • Propriedades úteis para esboçar:
    • Simetria: é simétrica em relação ao eixo z (rotacionalmente simétrica em torno de z-axis) porque x e y aparecem apenas em quadrado e de forma somada.
    • Interseções com planos coordenados:
      • Plano y=0: a curva é z=x^{2}, uma parábola no plano xz.
      • Plano x=0: a curva é z=y^{2}, uma parábola no plano yz.
    • Níveis horizontais: para cada z=c\ge 0, a interseção com o plano z=c é a circunferência x^{2}+y^{2}=c. Conforme c aumenta, as circunferências têm raios \sqrt{c} maiores, ou seja, o “bowl” fica mais largo.
  • Procedimento para esboçar à mão:
    1. Desenhe os eixos x,y no plano de base e o eixo z vertical.
    2. Marque as circunferências de nível no plano xy: por exemplo, desenhe a de raio 1 (para z=1) e a de raio 2 (para z=4).
    3. No ponto central (0,0) coloque o vértice (0,0,0).
    4. Eleve suavemente cada circunferência até a sua altura z=c e conecte-as formando uma superfície lisa que fica cada vez mais larga quando z cresce; o contorno resulta no paraboloide.
  • Observação intuitiva: quanto mais longe da origem no plano xy, maior o valor de z, porque z cresce como o quadrado da distância ao centro: se r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, então z=r^{2}. Assim r=\sqrt{z}.

Passo 7

Resumo didático (o que levar para a prova):
  • Para obter curvas de nível, sempre resolva f(x,y)=c e interprete geometricamente o conjunto solução.
  • Verifique sinais: se a equação pedir x^{2}+y^{2}=c com c<0, já sabia que é impossível porque soma de quadrados é não negativa — isso te salva tempo.
  • Para desenhar superfícies como z=x^{2}+y^{2}, use cortes (parábolas nos planos coordenados) e curvas de nível (circunferências) para justificar a forma do gráfico.

Resposta

Gráfico: o gráfico é o paraboloide circular z=x^{2}+y^{2}, com vértice em (0,0,0) e abertura para cima.
c_{1}=1:\quad \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\} (circunferência de centro (0,0) e raio 1).
c_{2}=4:\quad \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=4\} (circunferência de centro (0,0) e raio 2).
c_{3}=-2:\quad \varnothing (conjunto vazio, pois x^{2}+y^{2}\ge 0 para todos (x,y)).

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