Exemplo 39. Obtenha o gráfico e as curvas de nível
e
da função
.
Solução: Para as curvas de nível, basta fazer
. Note que uma destas curvas é o conjunto vazio e as outras duas são circunferências em
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claramente:
- Obter o gráfico da função
(ou seja, desenhar a superfície em dada por ). - Obter as curvas de nível correspondentes a
, e ; isto é, os conjuntos para cada .
Informações dadas no enunciado:
- A função é
. - As constantes de nível são
, e .
Nada mais foi pedido (por exemplo, não foi pedido cálculo de derivadas nem otimização), só o gráfico da superfície e as curvas de nível solicitadas.
Passo 2
O que é uma curva de nível e como obtê-la (mini-aula):
- Definição: para uma função de duas variáveis
, a curva de nível associada ao valor é o conjunto de pontos tais que
- Interpretação geométrica: no gráfico da superfície
, a curva de nível é a interseção da superfície com o plano horizontal . Ou seja, se você cortar a superfície por um plano paralelo ao plano , a linha de corte é a curva de nível. - Método prático: substituir
por e resolver a equação resultante para .
Agora aplicamos isso ao nosso
.
Passo 3
Curva de nível para
:
- Substituímos
na definição:
- Interpretação simples: esta é a equação padrão de uma circunferência no plano
com centro na origem e raio . - Forma paramétrica (útil para desenhar): podemos escrever
- Conclusão dessa etapa:
corresponde à circunferência de centro e raio .
Passo 4
Curva de nível para
:
- Substituímos
:
- Esta é também uma circunferência com centro na origem, agora de raio
. - Forma paramétrica:
- Conclusão:
é a circunferência centrada em e raio .
Passo 5
Curva de nível para
:
- Substituímos
:
- Observação importante (mini-aula sobre sinal): para quaisquer números reais
e , temos e . Portanto para todos . Logo não existem que satisfaçam . - Conclusão: a curva de nível para
é o conjunto vazio, denotado por .
Passo 6
Descrição e construção do gráfico da superfície
(como desenhar e entender):
- Tipo de superfície:
é um paraboloide circular que abre para cima (às vezes chamado de “bacia” ou “tigela”). O vértice está em . - Propriedades úteis para esboçar:
- Simetria: é simétrica em relação ao eixo
(rotacionalmente simétrica em torno de -axis) porque e aparecem apenas em quadrado e de forma somada. - Interseções com planos coordenados:
- Plano
: a curva é , uma parábola no plano . - Plano
: a curva é , uma parábola no plano .
- Plano
- Níveis horizontais: para cada
, a interseção com o plano é a circunferência . Conforme aumenta, as circunferências têm raios maiores, ou seja, o “bowl” fica mais largo.
- Simetria: é simétrica em relação ao eixo
- Procedimento para esboçar à mão:
- Desenhe os eixos
no plano de base e o eixo vertical. - Marque as circunferências de nível no plano
: por exemplo, desenhe a de raio (para ) e a de raio (para ). - No ponto central
coloque o vértice . - Eleve suavemente cada circunferência até a sua altura
e conecte-as formando uma superfície lisa que fica cada vez mais larga quando cresce; o contorno resulta no paraboloide.
- Desenhe os eixos
- Observação intuitiva: quanto mais longe da origem no plano
, maior o valor de , porque cresce como o quadrado da distância ao centro: se , então . Assim .
Passo 7
Resumo didático (o que levar para a prova):
- Para obter curvas de nível, sempre resolva
e interprete geometricamente o conjunto solução. - Verifique sinais: se a equação pedir
com , já sabia que é impossível porque soma de quadrados é não negativa — isso te salva tempo. - Para desenhar superfícies como
, use cortes (parábolas nos planos coordenados) e curvas de nível (circunferências) para justificar a forma do gráfico.
Resposta
Gráfico: o gráfico é o paraboloide circular
, com vértice em
e abertura para cima.