Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
e) Normalize a função psi=C phi1+D phi2. Deixe sua resposta em termos das constantes C e D e da integral de sobreposição S=integral0^L phi1 phi2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente normalizar a função de onda psi = C phi1 + D phi2. Estamos trabalhando com o princípio variacional e combinações lineares de orbitais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa normalizar uma função de onda e como aplicar essa condição na combinação dos orbitais phi1 e phi2.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre normalização. Normalizar uma função de onda significa ajustar os coeficientes de tal forma que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço considerado seja igual a 1. Matematicamente, isso é expresso pela integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço sendo igual a 1:
integral0^L |psi(x)|^2 dx = 1

Passo 3

Agora, substituímos a expressão da função de onda psi = C phi1 + D phi2 na condição de normalização:
integral0^L |C phi1 + D phi2|^2 dx = 1

Passo 4

Vamos expandir o módulo ao quadrado:
|C phi1 + D phi2|^2 = C^2 phi1^2 + D^2 phi2^2 + 2 C D phi1 phi2
Então, a integral fica:
integral0^L ( C^2 phi1^2 + D^2 phi2^2 + 2 C D phi1 phi2 ) dx = 1

Passo 5

Sabemos que phi1 e phi2 são funções de onda normalizadas, ou seja:
integral0^L phi1^2 dx = 1 e integral0^L phi2^2 dx = 1
Além disso, a integral de sobreposição S é dada por:
S = integral0^L phi1 phi2 dx

Passo 6

Substituindo essas integrais na expressão expandida, temos:
C^2 cdot 1 + D^2 cdot 1 + 2 C D S = 1
Ou seja:
C^2 + D^2 + 2 C D S = 1

Resposta

A condição de normalização é:
C^2 + D^2 + 2 C D S = 1

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