Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa
que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo
, valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões
e
, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
e) Normalize a função
. Deixe sua resposta em termos das constantes
e
e da integral de sobreposição
.
e) Normalize a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente normalizar a função de onda
. Estamos trabalhando com o princípio variacional e combinações lineares de orbitais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa normalizar uma função de onda e como aplicar essa condição na combinação dos orbitais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre normalização. Normalizar uma função de onda significa ajustar os coeficientes de tal forma que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço considerado seja igual a 1. Matematicamente, isso é expresso pela integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço sendo igual a 1:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão da função de onda
na condição de normalização:
Passo 4
Vamos expandir o módulo ao quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 5
Sabemos que
e
são funções de onda normalizadas, ou seja:
Além disso, a integral de sobreposição
é dada por:
Passo 6
Substituindo essas integrais na expressão expandida, temos:
Ou seja:
Resposta
A condição de normalização é: