Show that Plancks law, Equation 3-18, expressed in terms of the frequency , is
Passo 1
Beleza, o objetivo é mostrar a lei de Planck em função da frequência , isto é:
Isso envolve radiação de corpo negro e mudança de variável de comprimento de onda para frequência .
Vamos precisar de:
A forma original da densidade de energia por comprimento de onda
A relação entre e :daí .
Passo 2
Começamos escrevendo a densidade por comprimento de onda:
u(lambda);=;8pi hclambda^5,1e^hc/(lambda kT)-1
Aqui é a energia num intervalo .
Passo 3
Para achar u(f),df ;=; u(lambda),|dlambda| Longrightarrow u(f)=u(lambda),l|tfracdlambdadfr| =;u(lambda),cf^2 usamos a conservação de energia nas variáveis:
Passo 4
Agora substituímos lambda^5=c^5f^5, e^hc/(lambda kT)=e^h f/(kT) dentro de u(lambda) =8pi hclambda^5,1e^hc/(lambda kT)-1 =8pi hc(c^5/f^5);1e^hf/(kT)-1 =8pi h f^5c^4;1e^hf/(kT)-1 :
Então
Passo 5
Multiplicando pelo fator u(f) =8pi h f^5c^4;1e^hf/(kT)-1;cf^2 =8pi h f^3c^3;1e^hf/(kT)-1 do Jacobiano:
8pi h f^3c^3 =8pi f^2c^3,(h f),
E, por fim, escrevemos de um jeito equivalente ao enunciado: