Show that Plancks law, Equation 3-18, expressed in terms of the frequency f, is
u(f)=8 pi f^2c^3 h fe^h f / k T-1

Passo 1

Beleza, o objetivo é mostrar a lei de Planck em função da frequência u(f)=8pi f^2c^3;h fe^hf/(kT)-1 , isto é:
u(lambda);=;8pi hclambda^5;1e^hc/(lambda kT)-1
Isso envolve radiação de corpo negro e mudança de variável de comprimento de onda f=clambda, dlambda=-cf^2,df, para frequência .
Vamos precisar de:
  1. A forma original da densidade de energia por comprimento de onda
  2. A relação entre e : daí .

Passo 2

Começamos escrevendo a densidade por comprimento de onda:
u(lambda);=;8pi hclambda^5,1e^hc/(lambda kT)-1
Aqui é a energia num intervalo .

Passo 3

Para achar u(f),df ;=; u(lambda),|dlambda| Longrightarrow u(f)=u(lambda),l|tfracdlambdadfr| =;u(lambda),cf^2 usamos a conservação de energia nas variáveis:

Passo 4

Agora substituímos lambda^5=c^5f^5, e^hc/(lambda kT)=e^h f/(kT) dentro de u(lambda) =8pi hclambda^5,1e^hc/(lambda kT)-1 =8pi hc(c^5/f^5);1e^hf/(kT)-1 =8pi h f^5c^4;1e^hf/(kT)-1 :
Então

Passo 5

Multiplicando pelo fator u(f) =8pi h f^5c^4;1e^hf/(kT)-1;cf^2 =8pi h f^3c^3;1e^hf/(kT)-1 do Jacobiano:
8pi h f^3c^3 =8pi f^2c^3,(h f),
E, por fim, escrevemos de um jeito equivalente ao enunciado:
u(f) =8pi f^2c^3;h fe^hf/(kT)-1
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Resposta

boxed% u(f)=8pi f^2c^3;h fexpl(hf/(kT)r)-1 ,

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