Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa
que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo
, valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões
e
, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
f) Calcule a integral de sobreposição
.
f) Calcule a integral de sobreposição
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula dentro de uma caixa unidimensional com comprimento $ L $ e queremos calcular a integral de sobreposição $ S = \int_{0}^{L} \phi_{1} \phi_{2} , dx $. Para isso, vamos precisar entender o que são as funções de onda $ \phi_{1} $ e $ \phi_{2} $, além de saber como calcular integrais envolvendo funções trigonométricas, que é o conteúdo principal da matéria aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no problema da partícula na caixa, as funções de onda $ \phi_{n}(x) $ são dadas por:
onde $ n $ é um número inteiro positivo que indica o nível de energia. Então, $ \phi_{1}(x) $ e $ \phi_{2}(x) $ são, respectivamente, as funções de onda para os estados fundamental e o primeiro estado excitado.
Passo 3
Agora, vamos escrever explicitamente as funções $ \phi_{1} $ e $ \phi_{2} $:
Passo 4
A integral de sobreposição $ S $ que queremos calcular é:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de senos a uma soma de cossenos:
Aplicando isso, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para $ S $:
Passo 8
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Sabemos que:
Então,
E,
Passo 9
Substituindo esses resultados de volta na expressão para $ S $:
Resposta
A integral de sobreposição $ S $ é igual a zero.