Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
f) Calcule a integral de sobreposição S=integral0^L phi1 phi2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula dentro de uma caixa unidimensional com comprimento $ L $ e queremos calcular a integral de sobreposição $ S = \int_{0}^{L} \phi_{1} \phi_{2} , dx $. Para isso, vamos precisar entender o que são as funções de onda $ \phi_{1} $ e $ \phi_{2} $, além de saber como calcular integrais envolvendo funções trigonométricas, que é o conteúdo principal da matéria aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no problema da partícula na caixa, as funções de onda $ \phi_{n}(x) $ são dadas por:
phin(x)
onde $ n $ é um número inteiro positivo que indica o nível de energia. Então, $ \phi_{1}(x) $ e $ \phi_{2}(x) $ são, respectivamente, as funções de onda para os estados fundamental e o primeiro estado excitado.

Passo 3

Agora, vamos escrever explicitamente as funções $ \phi_{1} $ e $ \phi_{2} $:
phi1
phi2

Passo 4

A integral de sobreposição $ S $ que queremos calcular é:
S

Passo 5

Vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
S = 2L integral0^L sin(pi xL) sin(2pi xL) dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de senos a uma soma de cossenos:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso, temos:
sin(pi xL) sin(2pi xL) = 12 [ cos(pi xL - 2pi xL) - cos(pi xL + 2pi xL) ]
= 12 [ cos(-pi xL) - cos(3pi xL) ]
= 12 [ cos(pi xL) - cos(3pi xL) ]

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para $ S $:
S
S = 2L cdot 12 integral0^L [ cos(pi xL) - cos(3pi xL) ] dx

Passo 8

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Sabemos que:
integral cos(kx) dx = sin(kx)k + C
Então,
integral0^L cos(pi xL) dx = [ Lpi sin(pi xL) ]0^L = Lpi ( sin(pi) - sin(0) ) = 0
E,
integral0^L cos(3pi xL) dx = [ L3pi sin(3pi xL) ]0^L = L3pi ( sin(3pi) - sin(0) ) = 0

Passo 9

Substituindo esses resultados de volta na expressão para $ S $:
S

Resposta

A integral de sobreposição $ S $ é igual a zero.

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