Niels Bohr postulou que um sistema mecânico em rotação só pode ter momentum angular com valores múltiplos de uma constante hbar, chamada constante de Planck hbar=h / 2 pi=1.054 times 10^-34 J S ), ou seja: L=I omega=n hbar, sendo n um inteiro positivo ou zero.
Considere uma massa m obrigada a girar num círculo de raio R (átomo de Bohr ou átomo de hidrogênio). Quais são os possíveis valores para a velocidade angular levando-se em conta o postulado acima?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. O enunciado fala do postuladinho do Bohr: o momento angular de um sistema giratório só pode valer múltiplos de L = I,omega = n,hbar,. A fórmula é
onde é um inteiro (0,1,2,…). Aqui a gente tem uma massa presa a um raio , tipo um elétron girando em torno do núcleo. A meta é achar todos os valores possíveis da velocidade angular .
Para isso, vamos precisar saber:
  1. O que é “momento de inércia” ( ) de uma partícula pontual girando em distância .
  2. A relação entre , e .

Passo 2

Primeiro, a teoria do momento de inércia: para uma massa puntiforme I = m,R^2 girando num círculo de raio , o momento de inércia é
Isso vem da definição de como a massa se distribui em relação ao eixo: quanto mais longe, maior a inércia.

Passo 3

Agora junta isso com o postulado de Bohr:
L = I,omega = n,hbar
Substituindo m,R^2,omega = n,hbar, fica

Passo 4

Basta isolar a omega = n,hbarm,R^2. Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Os possíveis valores da velocidade angular são
boxedomegan = n,hbarm,R^2com n=0,1,2,dots

Exercícios relacionados