Niels Bohr postulou que um sistema mecânico em rotação só pode ter momentum angular com valores múltiplos de uma constante
, chamada constante de Planck
), ou seja:
, sendo n um inteiro positivo ou zero.
Considere uma massa m obrigada a girar num círculo de raio R (átomo de Bohr ou átomo de hidrogênio). Quais são os possíveis valores para a velocidade angular levando-se em conta o postulado acima?
Considere uma massa m obrigada a girar num círculo de raio R (átomo de Bohr ou átomo de hidrogênio). Quais são os possíveis valores para a velocidade angular levando-se em conta o postulado acima?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. O enunciado fala do postuladinho do Bohr: o momento angular de um sistema giratório só pode valer múltiplos de
. A fórmula é
onde
é um inteiro (0,1,2,…). Aqui a gente tem uma massa
presa a um raio
, tipo um elétron girando em torno do núcleo. A meta é achar todos os valores possíveis da velocidade angular
.
Para isso, vamos precisar saber:
Para isso, vamos precisar saber:
- O que é “momento de inércia” (
) de uma partícula pontual girando em distância . - A relação entre
, e .
Passo 2
Primeiro, a teoria do momento de inércia: para uma massa puntiforme
girando num círculo de raio
, o momento de inércia é
Isso vem da definição de como a massa se distribui em relação ao eixo: quanto mais longe, maior a inércia.
Passo 3
Agora junta isso com o postulado de Bohr:
Substituindo
, fica
Passo 4
Basta isolar a
. Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Os possíveis valores da velocidade angular são