[NISE - Exercício II.2] Para um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência
G(s)=\frac{1}{s(s+50)(s+120)}
projete um compensador de atraso de fase de forma a melhorar o erro em regime permanente em dez vezes com sobressinal de 20 \%.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de realimentação unitária com planta
G(s)=\frac{1}{s\,(s+50)\,(s+120)}
e pede um compensador de atraso de fase que melhore o erro em regime permanente para rampa em 10 vezes e garanta um sobressinal de 20\%.
Conteúdo: projeto de compensador de atraso (lag) via especificação de erro em regime permanente e de margem de fase para limitar o sobressinal.

Passo 2

Para um sistema de malha fechada de segunda ordem aproximado, o sobressinal M_p está ligado ao coeficiente de amortecimento \zeta por
M_p = 100\,e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\%.
Queremos M_p=20\%. Resolvendo numericamente
20 = 100\,e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \quad\Longrightarrow\quad \zeta\approx0,456.

Passo 3

A margem de fase necessária PM para esse \zeta pode ser obtida pela fórmula aproximada
PM \approx \arctan\!\Bigl(\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}}\Bigr)\times\frac{180}{\pi}
que para \zeta=0,456
PM\approx48^\circ.

Passo 4

No diagrama de Bode de malha aberta L(s)=G(s), o ângulo total em j\omega é
\angle L(j\omega) =-90^\circ -\arctan\!\Bigl(\frac{\omega}{50}\Bigr) -\arctan\!\Bigl(\frac{\omega}{120}\Bigr).
Para ter PM=48^\circ devemos ter
\angle L(j\omega_c)=-180^\circ+48^\circ=-132^\circ.
Ou seja,
90^\circ +\arctan\!\Bigl(\frac{\omega_c}{50}\Bigr) +\arctan\!\Bigl(\frac{\omega_c}{120}\Bigr) =132^\circ.
Resolvendo por tentativa encontra-se
\omega_c\approx28\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Para melhorar o erro em regime permanente em fator 10 no tipo 1, precisamos aumentar o ganho de baixas frequências em \alpha=10. Um compensador de atraso de fase tem forma
C(s)=\frac{s+z}{s+p},
com ganho DC z/p=\alpha. Para interferir pouco na fase em \omega_c, coloca-se o zero a uma década abaixo e o polo mais abaixo ainda:
z=\frac{\omega_c}{10}\approx2{,}8,\quad p=\frac{z}{10}\approx0{,}28.

Passo 6

Logo o compensador de atraso de fase fica
C(s) =\frac{s+2{,}8}{s+0{,}28},
que tem ganho DC 2{,}8/0{,}28=10 e introduz pouco atraso de fase em torno de \omega_c.

Resposta

C(s)=\frac{s+2{,}8}{s+0{,}28}.

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