Utilizando as propriedades da transformada de Fourier, determine a resposta ao impulso h(t) correspondente a carda uma das respostas em frequencia abaixo.
Sendo que:
h(t)=e^{-1} u(t) e conseqüentemente a transformada de Fourier de h(t) suja dada por: H(j w)=\frac{1}{j w+1}.
(a) Determine h 1(t) dado que H 1(j w)=\frac{e^{j * s}}{1+j w}

Passo 1

O enunciado nos diz que a transformada de Fourier
H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega}
corresponde à resposta ao impulso
h(t)=e^{-t}u(t).
Agora nos dão
H_{1}(j\omega)=\frac{e^{-j\omega s}}{1+j\omega}
e pedem a resposta ao impulso h_{1}(t) associada a H_{1}(j\omega).

Passo 2

Lembramos da propriedade de deslocamento no tempo:
sejam X(j\omega)\leftrightarrow x(t). Então
e^{-j\omega t_{0}}X(j\omega)\;\longleftrightarrow\;x(t-t_{0}).

Passo 3

Comparando, vemos que
H_{1}(j\omega)=e^{-j\omega s}\,H(j\omega)
é exatamente H(j\omega) multiplicado por e^{-j\omega s}.
Pelo teorema do deslocamento, isso implica
h_{1}(t)=h(t-s).

Passo 4

Como h(t)=e^{-t}u(t), temos
h_{1}(t)=h(t-s) =e^{-(t-s)}\,u(t-s).

Resposta

h_{1}(t)=e^{-(t-s)}\,u(t-s).

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