Considerando o seguinte sinal:
x[n]=1+\operatorname{sen}(2 \pi n / 5)+\sqrt{3} \cos (2 \pi n / 5)+\cos (4 \pi n / 5+\pi / 2)
(a) Qual é o periodo (N) e frequéncia fundamental \left(W_{0}\right) do sinal x[n] ?
(b) Quais saio os coeficientes de Fourier do sinal x[n] ?

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal discreto periódico
x[n]=1+\operatorname{sen}\bigl(2\pi n/5\bigr)+\sqrt{3}\cos\bigl(2\pi n/5\bigr)+\cos\bigl(4\pi n/5+\pi/2\bigr)
e pede (a) o período N e a frequência fundamental W_{0}, e (b) os coeficientes da série de Fourier discreta a_{k}. Aqui vamos usar que qualquer termo \cos(k\,2\pi n/N) ou \operatorname{sen}(k\,2\pi n/N) tem período N e pode ser escrito como combinação de e^{j k W_{0} n} com W_{0}=2\pi/N.

Passo 2

Para achar o período N buscamos o menor N>0 tal que
2\pi\frac{n+N}{5}=2\pi\frac{n}{5}+2\pi m \quad\text{e}\quad 4\pi\frac{n+N}{5}=4\pi\frac{n}{5}+2\pi m'
com inteiros m,m'. Ambos exigem N/5\in\mathbb{Z}. O menor N>0 é N=5. Logo
N=5, \qquad W_{0}=\frac{2\pi}{N}=\frac{2\pi}{5}.

Passo 3

Agora escrevemos cada termo como soma de exponenciais. Denotando \Omega_{1}=2\pi/5 e \Omega_{2}=4\pi/5:
\operatorname{sen}(\Omega_{1}n) =\frac{e^{j\Omega_{1}n}-e^{-j\Omega_{1}n}}{2j}, \qquad \cos(\Omega_{1}n) =\frac{e^{j\Omega_{1}n}+e^{-j\Omega_{1}n}}{2},
e
\cos(\Omega_{2}n+\tfrac{\pi}{2}) =-\operatorname{sen}(\Omega_{2}n) =-\frac{e^{j\Omega_{2}n}-e^{-j\Omega_{2}n}}{2j} =\frac{e^{-j\Omega_{2}n}-e^{j\Omega_{2}n}}{2j}.

Passo 4

Somando tudo em termos de e^{jkW_{0}n}, obtemos
x[n] =\;1 +\Bigl(\tfrac{1}{2j}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)e^{j\Omega_{1}n} +\Bigl(-\tfrac{1}{2j}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)e^{-j\Omega_{1}n} +\Bigl(-\tfrac{1}{2j}\Bigr)e^{j\Omega_{2}n} +\Bigl(\tfrac{1}{2j}\Bigr)e^{-j\Omega_{2}n}.
Convertendo 1/(2j)=-j/2 e -1/(2j)=j/2, os coeficientes da série de Fourier a_{k} são, com índices módulo 5:
a_{0}=1, \quad a_{1}=\frac{\sqrt{3}-j}{2}, \quad a_{4}=a_{-1}=\frac{\sqrt{3}+j}{2}, \quad a_{2}=\,\frac{j}{2}, \quad a_{3}=a_{-2}=-\frac{j}{2}.

Resposta

(a) N=5 e W_{0}=2\pi/5.
(b) Os coeficientes a_{k} para k=0,1,2,3,4 são
a_{0}=1,\quad a_{1}=\tfrac{\sqrt{3}-j}{2},\quad a_{2}=\tfrac{j}{2},\quad a_{3}=-\tfrac{j}{2},\quad a_{4}=\tfrac{\sqrt{3}+j}{2}.

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