A noção de subespaço vetorial está intimamente ligada ao conceito de espaço vetorial. Se W é um subconjunto de um espaço vetorial V e se W em si é um espaço vetorial (que herda as operações de adição e multiplicação por um escalar de V), então dizemos que W é um subespaço de V. Com base nessas informações, considere as afirmações a seguir. Sobre o que foi apresentado, analise as asserções a seguir e as relações propostas entre elas. I. O conjunto W de vetores (x, y) com origem em (0, 0) e apontando para (x, y) com x ≥ 0 e y ≥ 0 é um subespaço de R². PORQUE II. W não é fechado sob multiplicação: o vetor u = (2, 2) está em W, mas o vetor -u = (-2, -2) (obtido ao multiplicar pelo número real -1) não está em W. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. As asserções I e II são falsas.
e. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre subespaços vetoriais, que são conjuntos de vetores dentro de um espaço vetorial maior que também são espaços vetoriais por si só. O objetivo aqui é analisar se o conjunto W, formado pelos vetores (x, y) com x ≥ 0 e y ≥ 0 no R², é um subespaço de R². Para isso, precisamos verificar se W satisfaz as propriedades de um subespaço, como ser fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser fechado sob adição. Isso quer dizer que se pegarmos dois vetores quaisquer em W e somá-los, o resultado também deve estar em W. Por exemplo, se temos u = (a, b) e v = (c, d) em W, então u + v = (a + c, b + d) também deve estar em W. No caso de W, como x e y são sempre maiores ou iguais a zero, a soma de dois vetores com componentes positivas também terá componentes positivas, então W é fechado sob adição.

Passo 3

Agora, vamos ver se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos um vetor de W por qualquer número real, o resultado também deve estar em W. Consideremos o vetor u = (2, 2) em W. Se multiplicarmos u por -1, temos -u = (-2, -2). Agora, -2 e -2 não são maiores ou iguais a zero, então -u não está em W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Com base nisso, vamos analisar as asserções:
  • I. Diz que W é um subespaço de R².
  • II. Explica que W não é fechado sob multiplicação por escalar, dando o exemplo de u e -u.
Como vimos, W não é fechado sob multiplicação por escalar, então a asserção II é verdadeira. E como uma das condições para ser subespaço não é atendida, a asserção I é falsa.

Resposta

a. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

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