Em um torneio de futsal, um time obteve 5 vitórias, 3 empates e 2 derrotas. De quantas maneiras distintas estes resultados podem ter ocorrido?
A) 10
B) 3.690
C) 2.520
D) 5.040
E) 252

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um time de futsal que teve 5 vitórias, 3 empates e 2 derrotas em um torneio. A gente precisa descobrir de quantas maneiras diferentes esses resultados podem acontecer. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a área da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada jogo teve um resultado específico: vitória, empate ou derrota. Como o time jogou um total de 10 partidas (5 + 3 + 2 = 10), queremos saber de quantas maneiras podemos organizar esses resultados dentro dessas 10 partidas.

Passo 3

Aqui entra o conceito de permutação com elementos repetidos. Quando a gente tem itens que se repetem em um conjunto, a fórmula para encontrar as arrumações diferentes é:
n!n1! times n2! times dots times nk!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens.
  • $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de cada tipo de item que se repete.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
  • Total de jogos ($ n $): 10
  • Vitórias ($ n_1 $): 5
  • Empates ($ n_2 $): 3
  • Derrotas ($ n_3 $): 2
Então, a fórmula fica:
n

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
  • $ 10! = 3.628.800 $
  • $ 5! = 120 $
  • $ 3! = 6 $
  • $ 2! = 2 $
Substituindo na fórmula:
10! = 3.628.800

Resposta

A quantidade de maneiras distintas que esses resultados podem ocorrer é 2.520, ou seja, a opção C) 2.520.

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