Em um torneio de futsal, um time obteve 5 vitórias, 3 empates e 2 derrotas. De quantas maneiras distintas estes resultados podem ter ocorrido?
A) 10
B) 3.690
C) 2.520
D) 5.040
E) 252
A) 10
B) 3.690
C) 2.520
D) 5.040
E) 252
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um time de futsal que teve 5 vitórias, 3 empates e 2 derrotas em um torneio. A gente precisa descobrir de quantas maneiras diferentes esses resultados podem acontecer. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a área da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada jogo teve um resultado específico: vitória, empate ou derrota. Como o time jogou um total de 10 partidas (5 + 3 + 2 = 10), queremos saber de quantas maneiras podemos organizar esses resultados dentro dessas 10 partidas.
Passo 3
Aqui entra o conceito de permutação com elementos repetidos. Quando a gente tem itens que se repetem em um conjunto, a fórmula para encontrar as arrumações diferentes é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens.
- $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de cada tipo de item que se repete.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema:
- Total de jogos ($ n $): 10
- Vitórias ($ n_1 $): 5
- Empates ($ n_2 $): 3
- Derrotas ($ n_3 $): 2
Então, a fórmula fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte:
- $ 10! = 3.628.800 $
- $ 5! = 120 $
- $ 3! = 6 $
- $ 2! = 2 $
Substituindo na fórmula:
Resposta
A quantidade de maneiras distintas que esses resultados podem ocorrer é 2.520, ou seja, a opção C) 2.520.