Qual é o nome e a expressão matemática para a variação da portadora a partir de sua frequência central não modulada durante a modulação?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o nome e qual é a expressão matemática para a variação da portadora em relação à sua frequência central (não modulada) quando ela é modulada.
Informações relevantes que temos que identificar (implícitas na pergunta):
Informações relevantes que temos que identificar (implícitas na pergunta):
- Há uma portadora com frequência central não modulada
.) - Existe um sinal modulador que vamos chamar de
.) - Queremos a variação instantânea da frequência da portadora em relação a
— ou seja, o quanto a frequência “se afasta” de em cada instante.
Nada mais foi dado explicitamente, então vamos apresentar a definição geral (instantânea) e as formas particulares para modulação em frequência (FM) e modulação em fase (PM).
Passo 2
Primeiro conceito: sinal portador em forma geral. Uma portadora modulada pode ser escrita como
onde
é a amplitude e
é a fase instantânea (função do tempo). A fase instantânea contém a parte linear
correspondente à frequência central mais a parte introduzida pela modulação.
Passo 3
Definição central: frequência instantânea. A frequência instantânea
é a derivada temporal da fase instantânea dividida por
:
Isto tem sentido porque a fase aumenta aproximadamente como
vezes a área sob a frequência. A frequência central não modulada corresponde à fase
, cuja derivada dá
.
Passo 4
Agora a variação da portadora a partir de
— isto é, o desvio instantâneo de frequência — definimos como
Também podemos escrever em termos de frequências angulares: com
e
, o desvio angular é
e
.
Passo 5
Caso prático 1 — Modulação em frequência (FM) padrão. Em FM a fase instantânea costuma ser escrita como
onde
é a sensibilidade em frequência (unidade: Hz por unidade do sinal
). Derivando:
Logo a frequência instantânea é
e o desvio instantâneo fica simplesmente
Comentário prático: o valor máximo (desvio de pico) é
.
Passo 6
Caso prático 2 — Modulação em fase (PM). Em PM a fase é tipicamente
onde
é a sensibilidade em fase (unidade: radiano por unidade do sinal). Derivando:
Assim a frequência instantânea é
e o desvio instantâneo para PM é
Importante: em PM o desvio depende da derivada de
, enquanto em FM depende diretamente de
.
Passo 7
Exemplo numérico simples para fixar: se
e temos FM com sensibilidade
, então
ou seja, a frequência oscila entre
.
Passo 8
Resumo didático curto e motivador: a quantidade procurada chama-se desvio (ou variação) instantâneo de frequência; a expressão geral é dada por
e, em casos práticos, para FM puro
e para PM
. Você consegue lembrar disso como: FM → depende de
; PM → depende da derivada de
. Força aí, você já domina o conceito!
Resposta
Desvio (variação) instantâneo de frequência:
Para FM (modulação em frequência):
Para PM (modulação em fase):
Para FM (modulação em frequência):
Para PM (modulação em fase):