Qual é o nome e a expressão matemática para a variação da portadora a partir de sua frequência central não modulada durante a modulação?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o nome e qual é a expressão matemática para a variação da portadora em relação à sua frequência central (não modulada) quando ela é modulada.
Informações relevantes que temos que identificar (implícitas na pergunta):
  • Há uma portadora com frequência central não modulada \,f_c.)
  • Existe um sinal modulador que vamos chamar de \,m(t).)
  • Queremos a variação instantânea da frequência da portadora em relação a \,f_c — ou seja, o quanto a frequência “se afasta” de \,f_c em cada instante.
    Nada mais foi dado explicitamente, então vamos apresentar a definição geral (instantânea) e as formas particulares para modulação em frequência (FM) e modulação em fase (PM).

Passo 2

Primeiro conceito: sinal portador em forma geral. Uma portadora modulada pode ser escrita como
s(t)=A_c\cos\big(\varphi(t)\big),
onde \,A_c é a amplitude e \,\varphi(t) é a fase instantânea (função do tempo). A fase instantânea contém a parte linear \,2\pi f_c t correspondente à frequência central mais a parte introduzida pela modulação.

Passo 3

Definição central: frequência instantânea. A frequência instantânea \,f_i(t) é a derivada temporal da fase instantânea dividida por \,2\pi:
f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\,\frac{d\varphi(t)}{dt}.
Isto tem sentido porque a fase aumenta aproximadamente como 2\pi vezes a área sob a frequência. A frequência central não modulada corresponde à fase \varphi_0(t)=2\pi f_c t, cuja derivada dá \,f_c.

Passo 4

Agora a variação da portadora a partir de \,f_c — isto é, o desvio instantâneo de frequência — definimos como
\Delta f(t)=f_i(t)-f_c=\frac{1}{2\pi}\,\frac{d\varphi(t)}{dt}-f_c.
Também podemos escrever em termos de frequências angulares: com \,\omega(t)=\dfrac{d\varphi(t)}{dt} e \,\omega_c=2\pi f_c, o desvio angular é
\Delta\omega(t)=\omega(t)-\omega_c=\frac{d\varphi(t)}{dt}-\omega_c,
e \,\Delta\omega(t)=2\pi\Delta f(t).

Passo 5

Caso prático 1 — Modulação em frequência (FM) padrão. Em FM a fase instantânea costuma ser escrita como
\varphi(t)=2\pi f_c t + 2\pi k_f\int_{0}^{t} m(\tau)\,d\tau,
onde \,k_f é a sensibilidade em frequência (unidade: Hz por unidade do sinal m). Derivando:
\frac{d\varphi(t)}{dt}=2\pi f_c + 2\pi k_f m(t).
Logo a frequência instantânea é
f_i(t)=f_c + k_f m(t),
e o desvio instantâneo fica simplesmente
\Delta f(t)=k_f m(t).
Comentário prático: o valor máximo (desvio de pico) é \,\Delta f_{\max}=k_f\max|m(t)|.

Passo 6

Caso prático 2 — Modulação em fase (PM). Em PM a fase é tipicamente
\varphi(t)=2\pi f_c t + k_p\,m(t),
onde \,k_p é a sensibilidade em fase (unidade: radiano por unidade do sinal). Derivando:
\frac{d\varphi(t)}{dt}=2\pi f_c + k_p\,\frac{dm(t)}{dt}.
Assim a frequência instantânea é
f_i(t)=f_c + \frac{1}{2\pi}\,k_p\frac{dm(t)}{dt},
e o desvio instantâneo para PM é
\Delta f(t)=\frac{1}{2\pi}\,k_p\frac{dm(t)}{dt}.
Importante: em PM o desvio depende da derivada de \,m(t), enquanto em FM depende diretamente de \,m(t).

Passo 7

Exemplo numérico simples para fixar: se \,m(t)=M\cos(2\pi f_m t) e temos FM com sensibilidade \,k_f, então
\Delta f(t)=k_f M\cos(2\pi f_m t),
ou seja, a frequência oscila entre \,f_c\pm k_f M.

Passo 8

Resumo didático curto e motivador: a quantidade procurada chama-se desvio (ou variação) instantâneo de frequência; a expressão geral é dada por \,\Delta f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{d\varphi(t)}{dt}-f_c e, em casos práticos, para FM puro \,\Delta f(t)=k_f m(t) e para PM \,\Delta f(t)=\dfrac{1}{2\pi}k_p\dfrac{dm(t)}{dt}. Você consegue lembrar disso como: FM → depende de m(t); PM → depende da derivada de m(t). Força aí, você já domina o conceito!

Resposta

Desvio (variação) instantâneo de frequência: \displaystyle \Delta f(t)=\frac{1}{2\pi}\,\frac{d\varphi(t)}{dt}-f_c.
Para FM (modulação em frequência): \displaystyle \Delta f(t)=k_f\,m(t).
Para PM (modulação em fase): \displaystyle \Delta f(t)=\frac{1}{2\pi}\,k_p\,\frac{dm(t)}{dt}.

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