Quando ocorre o desvio de frequência máximo em um sinal FM? E em um sinal PM?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas curtas e diretas:
  • Quando ocorre o desvio de frequência máximo em um sinal FM?
  • Quando ocorre o desvio de frequência máximo em um sinal PM?
Informações implícitas que vamos usar (sem assumir que você saiba): há um sinal portadora com frequência central \;f_c\; e um sinal modulador m(t). Vamos identificar a expressão da frequência instantânea e o que chamamos de “desvio de frequência” (diferença entre a frequência instantânea e f_c). A resolução começa a partir das definições matemáticas de FM e PM.

Passo 2

Definições fundamentais — o que é frequência instantânea e desvio de frequência:
  • A fase instantânea \theta(t) de uma portadora é a função que aparece no argumento do cosseno/ seno da portadora. Por exemplo, uma portadora pura: A_c\cos(\theta(t)).
  • A frequência instantânea f_i(t) é definida por
f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\,\frac{d\theta(t)}{dt}.
Isto diz: a frequência num dado instante é quanto a fase cresce por segundo, dividida por 2\pi.
  • O desvio de frequência \Delta f(t) é a diferença entre a frequência instantânea e a frequência central \;f_c\;:
\Delta f(t)=f_i(t)-f_c.
Esses são os conceitos que vamos aplicar em FM e PM.

Passo 3

FM — escrita padrão e instantânea:
  • Uma forma comum de escrever um sinal FM é
s_{\text{FM}}(t)=A_c\cos\!\bigl(2\pi f_c t + 2\pi k_f\!\int_{0}^{t} m(\tau)\,d\tau\bigr),
onde k_f é a sensibilidade em \text{Hz} por unidade de m(t) (ou seja, quantos hertz mudam por unidade de amplitude do modulador).
  • A fase instantânea é
\theta_{\text{FM}}(t)=2\pi f_c t + 2\pi k_f\int_{0}^{t} m(\tau)\,d\tau.
Calculando a frequência instantânea usando a definição:
f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\theta_{\text{FM}}}{dt} = f_c + k_f m(t).
  • Portanto o desvio de frequência é simplesmente
\Delta f(t)=k_f m(t).
Conclusão lógica: o desvio de frequência em FM é proporcional ao valor instantâneo de m(t). Logo, o desvio de frequência máximo (em magnitude) ocorre quando |m(t)| atinge seu valor máximo (ou seja, nos picos do modulador).
Dica prática para a prova: se m(t) for senoidal m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t), então
\Delta f_{\max}=k_f A_m,
e isso acontece nos instantes em que m(t)=\pm A_m (os picos).

Passo 4

PM — escrita padrão e instante de frequência:
  • Um sinal PM típico é escrito como
s_{\text{PM}}(t)=A_c\cos\!\bigl(2\pi f_c t + k_p m(t)\bigr),
onde k_p é a sensibilidade de fase (geralmente em radianos por unidade de m(t)).
  • A fase instantânea é
\theta_{\text{PM}}(t)=2\pi f_c t + k_p m(t).
A frequência instantânea então é
f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\theta_{\text{PM}}}{dt} = f_c + \frac{k_p}{2\pi}\,\frac{d m(t)}{dt}.
  • Assim o desvio de frequência em PM é
\Delta f(t)=\frac{k_p}{2\pi}\,m'(t).
Conclusão: o desvio de frequência em PM depende da derivada do sinal modulador. Logo, o desvio máximo (em magnitude) ocorre quando |m'(t)| é máximo — isto é, nos instantes em que m(t) varia mais rapidamente (maior inclinação).
Dica prática para a prova: se m(t) for senoidal m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t), então
m'(t)=-A_m(2\pi f_m)\sin(2\pi f_m t),
e o desvio máximo em magnitude é
\Delta f_{\max}= \frac{k_p}{2\pi}\cdot A_m(2\pi f_m)=k_p A_m f_m.
Esse máximo ocorre quando \sin(2\pi f_m t)=\pm 1, ou seja, nos cruzamentos por zero do modulador (os pontos de maior inclinação), não nos picos de amplitude.

Passo 5

Resumo intuitivo e pontos de contraste (útil para decorar e aplicar na prova):
  • FM: desvio de frequência segue a amplitude de m(t). Máximo quando m(t) está no seu pico. Um sinal DC em m(t) produz um desvio de frequência constante (mudança de frequência estável).
  • PM: desvio de frequência segue a velocidade de mudança de m(t) (derivada). Máximo quando m(t) está mudando mais rápido (por exemplo, zero-crossings de um cosseno). Um sinal DC em m(t) apenas desloca a fase (sem alterar a frequência), porque a derivada é zero.

Passo 6

Exemplos curtos para fixar:
  • Se eu tiver m(t)=2\cos(2\pi\cdot 1\,t), k_f=5: em FM, \Delta f_{\max}=k_f A_m=5\cdot 2=10 Hz (nos picos).
  • Se eu tiver o mesmo m(t) e k_p=0{,}1 rad/unidade: em PM, \Delta f_{\max}=k_p A_m f_m=0{,}1\cdot 2\cdot 1=0{,}2 Hz (nos pontos de maior inclinação, i.e., cruzamento por zero).
Força aí — lembra: FM → olhar o valor de m(t); PM → olhar a derivada m'(t). Isso resolve a pergunta direto na prova.

Resposta

FM: O desvio de frequência máximo ocorre quando |m(t)| é máximo (nos picos de amplitude), pois \Delta f(t)=k_f m(t) e \Delta f_{\max}=k_f A_m para m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t).\n
PM: O desvio de frequência máximo ocorre quando |m'(t)| é máximo (nos instantes de maior variação do modulador), pois \Delta f(t)=\dfrac{k_p}{2\pi}m'(t) e para m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t) tem-se \Delta f_{\max}=k_p A_m f_m.

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