Normalize o vetor
abaixo (isto é, encontre um vetor unitário que possui a mesma direção e sentido que
):
.
Passo 1
O que o problema pede:
- Encontrar um vetor unitário que tenha a mesma direção e o mesmo sentido do vetor dado.
Informações fornecidas:
- O vetor
é .
Passo 2
O que significa “normalizar” um vetor (explicação didática):
- Normalizar um vetor quer dizer obter um vetor de comprimento (norma) igual a
que aponta na mesma direção e sentido do vetor original. - A fórmula geral para normalizar um vetor
é
onde:
-
é o vetor unitário buscado, -
é a norma (comprimento) do vetor , - dividir um vetor por um número positivo apenas reduz (ou aumenta) seu tamanho, sem mudar sua direção nem seu sentido.
- Exemplo simples para fixar a ideia: se
, então e o vetor unitário na mesma direção é .
Passo 3
Fórmula da norma em detalhes:
- Para um vetor em
, , a norma é
- No nosso caso
, , . Substituindo:
Passo 4
Calcular cada termo dentro da raiz (mostrando os passos):
Somando,
Passo 5
Valor final da norma e interpretação:
Observação: a norma é um número positivo; aqui
.
Passo 6
Construir o vetor unitário usando a fórmula:
Explicando: multiplicar o vetor
por
reduz seu comprimento de
para
, mantendo direção e sentido.
Passo 7
Verificação rápida (checar que a norma ficou
):
- Pela propriedade da norma,
. Tomando ,
Isso confirma que o vetor obtido é unitário.