Normalize o vetor u abaixo (isto é, encontre um vetor unitário que possui a mesma direção e sentido que u ):
(\sqrt{3}, \sqrt{2},-2).

Passo 1

O que o problema pede:
  • Encontrar um vetor unitário que tenha a mesma direção e o mesmo sentido do vetor dado.
Informações fornecidas:
  • O vetor u é \,u=(\sqrt{3},\sqrt{2},-2).

Passo 2

O que significa “normalizar” um vetor (explicação didática):
  • Normalizar um vetor quer dizer obter um vetor de comprimento (norma) igual a 1 que aponta na mesma direção e sentido do vetor original.
  • A fórmula geral para normalizar um vetor u é
\hat{u}=\frac{u}{\|u\|},
onde:
  • \hat{u} é o vetor unitário buscado,
  • \|u\| é a norma (comprimento) do vetor u,
  • dividir um vetor por um número positivo apenas reduz (ou aumenta) seu tamanho, sem mudar sua direção nem seu sentido.
  • Exemplo simples para fixar a ideia: se v=(2,0), então \|v\|=\sqrt{2^2+0^2}=2 e o vetor unitário na mesma direção é \hat{v}=\dfrac{1}{2}(2,0)=(1,0).

Passo 3

Fórmula da norma em detalhes:
  • Para um vetor em \mathbb{R}^3, u=(u_1,u_2,u_3), a norma é
\|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
  • No nosso caso u_1=\sqrt{3}, u_2=\sqrt{2}, u_3=-2. Substituindo:
\|u\|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+(-2)^2}.

Passo 4

Calcular cada termo dentro da raiz (mostrando os passos):
(\sqrt{3})^2=3,\qquad (\sqrt{2})^2=2,\qquad (-2)^2=4.
Somando,
\|u\|=\sqrt{3+2+4}=\sqrt{9}.

Passo 5

Valor final da norma e interpretação:
\|u\|=\sqrt{9}=3.
Observação: a norma é um número positivo; aqui \|u\|=3.

Passo 6

Construir o vetor unitário usando a fórmula:
\hat{u}=\frac{u}{\|u\|}=\frac{1}{3}\,u.
Explicando: multiplicar o vetor u por \tfrac{1}{3} reduz seu comprimento de 3 para 1, mantendo direção e sentido.

Passo 7

Verificação rápida (checar que a norma ficou 1):
  • Pela propriedade da norma, \|\lambda u\|=|\lambda|\,\|u\|. Tomando \lambda=\tfrac{1}{3},
\left\|\frac{1}{3}u\right\|=\frac{1}{3}\|u\|=\frac{1}{3}\cdot 3=1.
Isso confirma que o vetor obtido é unitário.

Resposta

\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{3},-\dfrac{2}{3}\right)

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