Nove medidas de pH de uma solução-tampão proporcionaram os seguintes resultados: 5,12 5,205,155,175,165,195,155,145,16 Calcular os limites de confiança para o verdadeiro pH da solução ao nível de confiança de (i) 95% e (ii) 99 %.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem 9 medidas de pH de uma solução‐tampão
5,12 5,205 5,155 5,175 5,165 5,195 5,155 5,145 5,16
e quer construir intervalos de confiança para o verdadeiro pH com 95% e 99%.
Isso é um assunto de Estatística Inferencial: o que a gente faz é estimar a média verdadeira a partir da amostra, usando a distribuição t de Student (porque não sabemos o desvio‐padrão populacional).
Para resolver, vamos precisar de:
  1. média amostral bar x;
  2. desvio‐padrão amostral s;
  3. quantis da t com n-1=8 graus de liberdade;
  4. fórmula do intervalo de confiança
bar x pm talpha/2,,n-1,sraiz n,

Passo 2

Vamos calcular bar x e s.
  1. Média amostral:
bar x = 19sumi=1^9 xi = 46,4759approx 5,1639
2) Desvio‐padrão amostral:
$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_i (x_i - \bar x)^2}
\approx \sqrt{\frac{0{,}0052372}{8}} \approx 0{,}0256.$$

Passo 3

Intervalo de confiança a 95% (ou alpha=0,05, t0,025,8approx2,306):
ME95 = t0.025,8,sraiz n =2,306;0,0256raiz9 approx2,306cdot0,00853approx0,0197
Logo
$$IC_{95%} = 5{,}1639 \pm 0{,}0197
= [,5{,}1442,;5{,}1836,].$$

Passo 4

Intervalo de confiança a 99% (ou alpha=0,01, t0,005,8approx3,355):
ME99 = t0.005,8,sraiz n =3,355;0,0256raiz9 approx3,355cdot0,00853approx0,0286
Logo
$$IC_{99%} = 5{,}1639 \pm 0{,}0286
= [,5{,}1353,;5{,}1925,].$$

Resposta

Intervalo de confiança para o pH verdadeiro:
(i) a 95%: [5,1442,;5,1836]
(ii) a 99%: [5,1353,;5,1925]

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