O núcleo de um átomo de plutônio 239 contém 94 prótons. Suponha que o núcleo é uma esfera com 6,64 \mathrm{fm} de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente na esfera. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o módulo do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo;
  • (b) o sentido desse campo (se é para dentro ou para fora).
Informações fornecidas:
  • número de prótons: 94 (portanto a carga total das partículas que carregam carga positiva é Q = 94\cdot e);
  • raio do núcleo (modelo esférico e carga distribuída uniformemente): R = 6,64\\ \mathrm{fm};
  • a distribuição de carga é uniforme dentro da esfera.
Constantes físicas que usarei (valores numéricos padrão):
  • carga elementar: e = 1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C};
  • constante eletrostática (Coulomb): k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8,9875517923\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Pelo motivo de simetria (esfera com carga distribuída uniformemente), o campo elétrico em um ponto sobre a superfície depende apenas da carga total e da distância ao centro.
  • Usamos a Lei de Gauss: o fluxo elétrico através de uma superfície esférica concêntrica é igual à carga interna dividida por \varepsilon_0. Escrevendo isso para um raio r qualquer:
\Phi = \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Para r\ge R (fora ou sobre a superfície) toda a carga Q está dentro, portanto Q_{\text{int}}=Q e obtemos
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}} = k\,\frac{Q}{r^{2}}.
  • Em particular, na superfície r=R vale
E(R)=k\,\frac{Q}{R^{2}}.
  • Observação sobre o sentido: cargas positivas produzem campo elétrico que aponta radialmente para fora do centro (pois uma carga de prova positiva seria repelida).

Passo 3

Expressar a carga total e converter unidades:
  • A carga total dos 94 prótons é
Q = 94\cdot e = 94\cdot\left(1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}\right).
Calculemos Q:
Q = 94\times 1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C} = 1,506045046\times 10^{-17}\\ \mathrm{C}.
  • Converter o raio para metros: como 1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m},
R = 6,64\\ \mathrm{fm} = 6,64\times 10^{-15}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular R^{2} e preparar para aplicar a fórmula:
R^{2} = \left(6,64\times 10^{-15}\\ \mathrm{m}\right)^{2} = 4,40896\times 10^{-29}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do campo na superfície e efetuar contas numéricas passo a passo:
E(R)=k\,\frac{Q}{R^{2}}.
Substituindo os valores:
E(R) = \left(8,9875517923\times 10^{9}\right)\times \frac{1,506045046\times 10^{-17}}{4,40896\times 10^{-29}}\\ \mathrm{N/C}.
Calcule o numerador combinado:
8,9875517923\times 10^{9}\times 1,506045046\times 10^{-17} =1,353565744\times 10^{-7}.
Agora a divisão:
E(R)=\frac{1,353565744\times 10^{-7}}{4,40896\times 10^{-29}} =3,07\times 10^{21}\\ \mathrm{N/C}
(arredondando para três algarismos significativos, apropriado dado os dados).

Passo 6

Interpretação do sentido do campo:
  • Como a carga total Q é positiva (soma de prótons), o campo elétrico sobre a superfície aponta radialmente para fora do centro da esfera. Em termos práticos: uma carga de prova positiva colocada na superfície seria repelida e acelerada para fora.

Resposta

(a) E(R)=3,07\times 10^{21}\\ \mathrm{N/C}
(b) sentido: para fora (radialmente afastando-se do centro)

Exercícios relacionados