Um núcleo toroidal de madeira, de seção reta quadrada, possui um raio interno de 10 cm e um raio externo de 12 cm . Em torno do núcleo é enrolada uma série de espiras. O fio tem 1,0 \mathrm{~mm} de diâmetro e uma resistência de 0,020 \Omega / \mathrm{m}. Determine (a) a indutância e (b) a constante de tempo indutiva do conjunto. Ignore a espessura do isolamento do fio.

Passo 1

O enunciado descreve um toro de madeira ( \mur =1) com seção reta quadrada de lado
r_\text{ext}-r_\text{int}=0,12-0,10=0,02\\ \mathrm{m},
enrolado com fio de diâmetro d=1,0\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e resistência específica 0,020\\ \Omega/\mathrm{m}. Pede-se (a) a indutância L e (b) a constante de tempo indutiva \tau. Vamos usar a fórmula de indutância de um toro
L=\frac{\mu_0\,\mu_r\,N^2\,A}{\ell}
e \tau=L/R.

Passo 2

Calcular o número de espiras N supondo que o fio preenche totalmente a seção quadrada, ocupando área d^2 cada:
A = (0,02)^2 = 4\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,
N = \frac{A}{d^2} = \frac{4\times10^{-4}}{(1\times10^{-3})^2} = 400\\ \text{espiras}.

Passo 3

Determinar o raio médio e o comprimento médio do caminho magnético:
r_m = \frac{r_\text{int}+r_\text{ext}}{2} = \frac{0,10+0,12}{2} = 0,11\\ \mathrm{m},
\ell = 2\pi r_m = 2\pi\times0,11 = 0,22\pi\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a indutância usando \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \mu_r=1:
L = \frac{4\pi\times10^{-7}\times(400)^2\times4\times10^{-4}}{0,22\pi} \approx1,16\times10^{-4}\\ \mathrm{H}.

Passo 5

O comprimento total de fio é
\ell_\text{total}=N\,\ell =400\times0,22\pi\approx276{,}4\\ \mathrm{m},
logo a resistência total é
R = 0,020\\ \Omega/\mathrm{m}\times276{,}4\\ \mathrm{m}\approx5,53\\ \Omega.

Passo 6

Finalmente, a constante de tempo indutiva vale
\tau = \frac{L}{R} = \frac{1,16\times10^{-4}}{5,53}\approx2,10\times10^{-5}\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) L\approx1,16\times10^{-4}\\ \mathrm{H}.
(b) \tau\approx2,10\times10^{-5}\\ \mathrm{s}.

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