A corrente em um circuito RL diminui de 1,0 \mathrm{~A} para 10 mA no primeiro segundo depois que a fonte é removida do circuito. Se L =10 \mathrm{H}, determine a resistência R do circuito.

Passo 1

O enunciado trata da resposta natural de um circuito RL ao remover a fonte. Inicialmente a corrente vale \,1,0\text{ A} e, após 1\text{ s}, caiu para 10\text{ mA}=0,01\text{ A}. Sabemos que num circuito RL sem fonte a corrente decai exponencialmente com constante de tempo \tau = L/R. Vamos usar a expressão da corrente no instante t.

Passo 2

A solução da equação diferencial do circuito RL sem fonte é
i(t) = i(0)\,\exp\bigl(-\tfrac{R}{L}\,t\bigr),
onde i(0)=1,0\text{ A} é a corrente inicial, L=10\text{ H} é a indutância e R a resistência que queremos achar.

Passo 3

Em t=1\text{ s}, temos i(1)=0,01\text{ A}. Logo,
0,01 = 1,0\,\exp\bigl(-\tfrac{R}{10}\cdot1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \exp\bigl(-\tfrac{R}{10}\bigr)=0,01.
Tomando logaritmo natural,
-\tfrac{R}{10} = \ln(0,01) \quad\Longrightarrow\quad R = -10\,\ln(0,01).

Passo 4

Calculando numericamente,
R = -10\times(-4,60517\ldots)=46,0517\ldots
Arredondando, R\approx46,05\\ \Omega.

Resposta

R \approx 46,05\\ \Omega

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