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Um núcleo toroidal tem uma seção reta S\left[\mathrm{~m}^{2}\right], comprimento médio L[\mathrm{~m}], permeabilidade \mu [\mathrm{H} / \mathrm{m}] e um enrolamento de N espiras. Nesse núcleo é feito um Gap (entreferro) de comprimento médio d [ m ], com d << L, de modo que a dispersão no Gap possa ser desprezada. Para que o núcleo tenha um fluxo magnético de \Psi[\mathrm{Wb}], a expressão da corrente no enrolamento, em ampères, é:
Dados: permeabilidade do Gap é \mu 0[\mathrm{H} / \mathrm{m}] e a dispersão no enrolamento é desprezível. (10 Pontos)
I=\PsiS/N [(L-d)/(\mu+\mu0 )]
I=\Psi/NS [Lu+du0]
I=\Psi/NS [(L-d)/\mu+d/\mu0]
I=\PsiN/S [(L-d)/\mu+d/\mu0 ]
I=\psiNS[L/ \mu+d/ \mu0 ]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a corrente no enrolamento (em ampères) necessária para que o núcleo toroidal com entreferro tenha um fluxo magnético de \Psi (weber). Dados relevantes fornecidos:
  • seção reta do núcleo: S (m ^2);
  • comprimento médio do núcleo: L (m);
  • comprimento médio do entreferro (gap): d (m), com d \ll L;
  • permeabilidade do núcleo: \mu (H/m);
  • permeabilidade do gap: \mu_0 (H/m) (dado);
  • número de espiras do enrolamento: N;
  • despreza-se a dispersão (ou seja, todo o fluxo passa pelo caminho principal).
    Pergunta: expressar I em função de \Psi, S, L, d, \mu, \mu_0, N.

Passo 2

Conceitos fundamentais (aula rápida e necessária):
  • Fluxo magnético: \Psi (weber) é análogo à corrente elétrica num circuito;
  • Força magnetomotriz (mmf): análoga à tensão elétrica e dada por \mathcal{F}=N I, onde I é a corrente no enrolamento;
  • Relutância magnética \mathcal{R}: análoga à resistência elétrica; quanto maior a relutância, mais difícil é estabelecer fluxo para a mesma mmf. Para um trecho de material homogêneo de comprimento l, área S e permeabilidade \mu,
\mathcal{R}=\frac{l}{\mu S}.
Explicação do porquê: \mu S/l é a “condutância magnética” (capacidade do trecho de conduzir fluxo); a relutância é o inverso disso. Unidades: [ \mathcal{R} ] = \text{A·turns/Wb} (consistente com \mathcal{F}=\Psi\mathcal{R}).

Passo 3

Calcular a relutância do trecho do núcleo (material ferromagnético):
  • comprimento do trecho do núcleo = L-d;
  • permeabilidade = \mu;
  • área = S.
    Logo
\mathcal{R}_{\text{núcleo}}=\frac{L-d}{\mu S}.ú
Aqui usamos diretamente a fórmula \mathcal{R}=l/(\mu S), substituindo l=L-d.

Passo 4

Calcular a relutância do entreferro (gap):
  • comprimento do gap = d;
  • permeabilidade = \mu_0 (a permeabilidade do espaço/vácuo, dada);
  • área = S.
    Logo
\mathcal{R}_{\text{gap}}=\frac{d}{\mu_0 S}.
Observação: mesmo que d seja pequeno, a relutância do gap costuma dominar porque \mu_0 \ll \mu (permeabilidade do vácuo é muito menor que a do núcleo).

Passo 5

Como o fluxo percorre em série o núcleo e o gap (trajeto único toroidal), as relutâncias somam:
\mathcal{R}_{\text{total}}=\mathcal{R}_{\text{núcleo}}+\mathcal{R}_{\text{gap}}=\frac{L-d}{\mu S}+\frac{d}{\mu_0 S}.ú
Expliquei: em circuitos magnéticos em série (trechos consecutivos), as relutâncias somam, exatamente como resistores em série.

Passo 6

Relação entre mmf, fluxo e relutância:
pela lei análoga à lei de Ohm magnética,
\mathcal{F}=N I = \Psi \,\mathcal{R}_{\text{total}}.
Isto significa que a força magnetomotriz necessária para produzir fluxo \Psi é o produto do fluxo pela relutância total.

Passo 7

Isolar I da equação anterior:
I=\frac{\Psi}{N}\,\mathcal{R}_{\text{total}}.
Substituindo \mathcal{R}_{\text{total}} calculada no passo anterior obtemos a expressão final para I. (Na seção de resposta está só a expressão final compacta.)

Resposta

\displaystyle I=\frac{\Psi}{N S}\left(\frac{L-d}{\mu}+\frac{d}{\mu_{0}}\right)

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