Um motor de indução de 460 \mathrm{~V}, 25 \mathrm{HP}, 60 \mathrm{~Hz}, quatro polos e ligado em Y, tem as seguintes impedâncias em ohms por fase, referidas ao circuito de estator:
R_{1}=0,641 \Omega ; X_{1}=1,106 \Omega ; X_{m}=26,3 \Omega ; R_{2}=0,332 \Omega X_{2}=0,464 \Omega
As perdas rotacionais totais são 1100 W e assume-se que são constantes. As perdas no núcleo estão combinadas com as perdas rotacionais. Para um escorregamento do rotor de 2,2 \%, com tensão e frequência nominais, encontre os valores das seguintes grandezas do motor:
a) A velocidade síncrona e mecânica
b) A corrente de estator
c) O fator de potência
d) As potências Pentrada e Psaída
e) O conjugado de saída
f) A eficiência
a) n_{s}=1800 \mathrm{rpm} e n_{m}=1760 \mathrm{rpm};
b) I_{1}=18,88 \angle-33,6^{\circ} A;
c) \mathrm{fp}=0,833 atrasado; d) P_{e}=12.530 \mathrm{~W} e P_{s}=10.845 \mathrm{~W}

Passo 1

Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Tensão linha: }460\\ \mathrm{V},\quad \text{liga\c{c}\~ao em }Y,\\\ &\text{Pot\^encia nominal: }25\\ \mathrm{HP},\\\ &\text{Frequ\^encia: }60\\ \mathrm{Hz},\quad \text{pólos: }4,\\\ &\text{Imped\^ancias por fase referidas ao estator:}\\\ &\quad R_{1}=0{,}641\\ \Omega,\; X_{1}=1{,}106\\ \Omega,\\\ &\quad X_{m}=26{,}3\\ \Omega,\\\ &\quad R_{2}=0{,}332\\ \Omega,\; X_{2}=0{,}464\\ \Omega,\\\ &\text{Perdas rotacionais (inclui perdas no núcleo): }P_{rot}=1100\\ \mathrm{W},\\\ &\text{Escorregamento: }s=2{,}2\%=0{,}022. \end{aligned}ãóú
O que o enunciado pede:
a) a velocidade síncrona e mecânica; \
b) a corrente de estator (valor e ângulo); \
c) o fator de potência; \
d) as potências P_{entrada} e P_{sa\acute{\imath}da}; \
e) o conjugado (torque) de saída; \
f) a efici^encia.

Passo 2

Calcular velocidades síncrona e mecânica.
Fórmula da velocidade síncrona em rotações por minuto:
n_s=\frac{120\,f}{p},
onde f é a frequência em Hz e p o número de polos.
Aplicando:
n_s=\frac{120\cdot 60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.
A velocidade mecânica do rotor é reduzida por um fator (1-s):
n_m=(1-s)\,n_s=(1-0{,}022)\cdot 1800=1760{,}4\\ \mathrm{rpm}\approx 1760\\ \mathrm{rpm}.

Passo 3

Preparar circuito por fase e a tensão de fase.
Como o motor está em conexão Y, a tensão por fase é
V_1=\frac{460}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}\approx 265{,}58\\ \mathrm{V}.
Impedâncias por fase (em forma complexa):
Z_1=R_1+jX_1=0{,}641+j1{,}106\\ \Omega,
Z_m=jX_m=j26{,}3\\ \Omega,
Z_2=\frac{R_2}{s}+jX_2=\frac{0{,}332}{0{,}022}+j0{,}464=15{,}0909+j0{,}464\\ \Omega.
O circuito equivalente por fase é Z_1 em série com o paralelo entre Z_m e Z_2. Vamos calcular a impedância equivalente do paralelo Z_p.

Passo 4

Calcular admittâncias e impedância do paralelo Z_p.
Admittância do ramo magnetizante:
Y_m=\frac{1}{Z_m}=\frac{1}{j26{,}3}=-j\frac{1}{26{,}3}=-j0{,}0380228\\ \mathrm{S}.
Admittância do ramo do rotor:
Y_2=\frac{1}{Z_2}=\frac{1}{15{,}0909+j0{,}464} =\frac{15{,}0909-j0{,}464}}{15{,}0909^2+0{,}464^2} \approx 0{,}066225-j0{,}002034\\ \mathrm{S}.
Somando admittâncias:
Y_p=Y_m+Y_2\approx 0{,}066225 - j0{,}040057\\ \mathrm{S}.
Impedância equivalente do paralelo:
Z_p=\frac{1}{Y_p}\approx 11{,}0616 + j6{,}6882\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente de estator por fase I_1.
Impedância total por fase:
Z_{tot}=Z_1+Z_p=(0{,}641+11{,}0616)+j(1{,}106+6{,}6882)=11{,}7026 + j7{,}7942\\ \Omega.
Módulo e ângulo de Z_{tot}:
|Z_{tot}|=\sqrt{11{,}7026^2+7{,}7942^2}\approx 14{,}061\\ \Omega,
\angle Z_{tot}=\arctan\!\left(\frac{7{,}7942}{11{,}7026}\right)\approx 33{,}693^\circ.
A corrente por fase (assumindo V_1 referida com ângulo zero) é
I_1=\frac{V_1}{Z_{tot}}=\frac{265{,}58\\ \angle 0^\circ}{14{,}061\\ \angle 33{,}693^\circ} \approx 18{,}887\\ \angle -33{,}693^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Fator de potência (atrasado ou adiantado) e sua magnitude.
O fator de potência é o cosseno do ângulo entre V_1 e I_1 (a corrente atrasa, ângulo negativo):
\mathrm{pf}=\cos(33{,}693^\circ)\approx 0{,}8327\\ (\text{atrasado}).
Arredondando: \mathrm{pf}\approx 0{,}833 atrasado.

Passo 7

Calcular correntes nos ramos do paralelo e tens~ao no nó (tens~ao de aramado).
Tensão na barra do paralelo (tensão sobre Z_p):
V_p=I_1\cdot Z_p.
Cálculo numérico (usando os valores anteriores):
|Z_p|\approx 12{,}915,\quad \angle Z_p\approx 31{,}03^\circ,
V_p\approx 18{,}887\cdot 12{,}915 \\ \angle(-33{,}693^\circ+31{,}03^\circ) \approx 243{,}99\\ \angle -2{,}66^\circ\\ \mathrm{V}.
Corrente no ramo do rotor I_2:
I_2=\frac{V_p}{Z_2}=\frac{243{,}99\\ \angle -2{,}66^\circ}{15{,}0969\\ \angle 1{,}76^\circ} \approx 16{,}164\\ \angle -4{,}42^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Calcular pot^encias elétricas e mecânicas.
Potência de entrada real (total, 3 fases):
P_{entrada}=3\,V_1 I_1\cos\varphi=3\cdot 265{,}58\cdot 18{,}887\cdot \cos(33{,}693^\circ).
Cálculo numérico:
P_{entrada}\approx 12\,524\\ \mathrm{W}.
Perdas ôhmicas no estator:
P_{cu1}=3 I_1^2 R_1=3\cdot (18{,}887)^2\cdot 0{,}641\approx 685{,}6\\ \mathrm{W}.
Perdas ôhmicas no rotor (referidas) — perdas por efeito Joule no rotor:
P_{cu2}=3 I_2^2 R_2=3\cdot (16{,}164)^2\cdot 0{,}332\approx 260{,}2\\ \mathrm{W}.
Potência atravessando o entreferro (air-gap power):
P_{ag}=3 I_2^2\frac{R_2}{s}\approx 3\cdot (16{,}164)^2\cdot 15{,}0909\approx 11\,824\\ \mathrm{W}.
Potência mecânica desenvolvida pelo rotor (antes de perdas rotacionais):
P_{dev}=P_{ag}-P_{cu2}\approx 11\,824-260{,}2\approx 11\,564\\ \mathrm{W}.
(ou P_{dev}=P_{ag}(1-s), resulta o mesmo dentro de arredondamento.)
Potência de saída no eixo (após perdas rotacionais P_{rot}=1100\\ \mathrm{W}):
P_{sa\acute{\imath}da}=P_{dev}-P_{rot}\approx 11\,564-1\,100\approx 10\,464\\ \mathrm{W}.
Observação: por contas com arredondamentos intermédios, um valor consistente para P_{sa\acute{\imath}da} é aproximadamente 10{,}47\\ \mathrm{kW}. Usando a conta por balanço de potências:
P_{sa\acute{\imath}da}=P_{entrada}-\big(P_{cu1}+P_{cu2}+P_{rot}\big)
também dá resultado consistente (diferenças de algumas dezenas de watts por arredondamento).

Passo 9

Calcular o conjugado (torque) de saída.
O torque mecânico no eixo é dado por
T=\frac{P_{sa\acute{\imath}da}}{\omega_m},
onde \omega_m é a velocidade angular mecânica em rad/s:
\omega_m=\frac{2\pi n_m}{60}.
Com n_m\approx 1760{,}4\\ \mathrm{rpm},
\omega_m=\frac{2\pi\cdot 1760{,}4}{60}\approx 184{,}36\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
T=\frac{10\,464}{184{,}36}\approx 56{,}75\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 10

Calcular eficiência.
Efici^encia:
\eta=\frac{P_{sa\acute{\imath}da}}{P_{entrada}}\approx \frac{10\,464}{12\,524}\approx 0{,}8356\approx 83{,}6\%.

Resposta

a) n_s=1800\\ \mathrm{rpm} e n_m\approx1760{,}4\\ \mathrm{rpm} (aprox. 1760\\ \mathrm{rpm}).
b) I_1\approx18{,}887\angle -33{,}693^\circ\\ \mathrm{A}.
c) \mathrm{fp}\approx0{,}833 atrasado.
d) P_{entrada}\approx12\,524\\ \mathrm{W} \
P_{sa\acute{\imath}da}\approx10\,464\\ \mathrm{W}.
e) T\approx56{,}75\\ \mathrm{N\cdot m}.
f) \eta\approx83{,}6\%.

Exercícios relacionados