Projete um filtro Butterworth passa-altas, com ganho unitário na banda de passagem, que atenda as seguintes especificações: (5,50 pts)
2 dB
20 dB
Limite inferior da Faixa Passante
Limite superior da Faixa de Bloqueio
a. Qual a menor ordem
de um filtro capaz de atender tais especificações? (
)
b. Determine os polos deste filtro. (0,8 pts)
c. Explicite a expressão da função de transferência
do filtro passa-altas. (0,8 pts)
d. Implemente o filtro idealizado por meio da topologia sallen-key. Apresente a representação esquemática do circuito e indique os valores de todas as resistências e capacitâncias utilizadas. (1,6 pts)
e. Para os sinais de entrada
indicados abaixo, expressos em volts, calcule a amplitude
e a fase
dos respectivos sinais de saída
.
i.
pts
ii.
iii.
|
|
2 dB |
|
|
20 dB |
| Limite inferior da Faixa Passante
|
|
| Limite superior da Faixa de Bloqueio
|
|
b. Determine os polos deste filtro. (0,8 pts)
c. Explicite a expressão da função de transferência
d. Implemente o filtro idealizado por meio da topologia sallen-key. Apresente a representação esquemática do circuito e indique os valores de todas as resistências e capacitâncias utilizadas. (1,6 pts)
e. Para os sinais de entrada
i.
ii.
iii.
Passo 1
O enunciado pede projetar um filtro Butterworth passa-altas com ganho unitário na banda de passagem e atender as seguintes especificações (todas as quantidades angulares estão em rad/s):
Perguntas a responder:
a. Qual a menor ordem do filtro que atende as especificações?
b. Determine os polos deste filtro.
c. Explicite a expressão da função de transferência do filtro passa-altas (forma fatorada útil).
d. Implemente o filtro idealizado por meio da topologia Sallen–Key: apresente o esquema em blocos (dois estágios 2ª ordem em cascata) e indique valores numéricos de todas as resistências e capacitâncias usadas.
e. Para três sinais de entrada com amplitudes unitárias e frequências dadas, calcule a amplitude
e a fase
do sinal de saída
:
i.
ii.
iii. .]
a. Qual a menor ordem
b. Determine os polos deste filtro.
c. Explicite a expressão da função de transferência
d. Implemente o filtro idealizado por meio da topologia Sallen–Key: apresente o esquema em blocos (dois estágios 2ª ordem em cascata) e indique valores numéricos de todas as resistências e capacitâncias usadas.
e. Para três sinais de entrada
i.
ii.
iii.
Passo 2
Primeiro vamos relacionar as especificações com as fórmulas do projeto de filtro Butterworth passa-altas. Para um Butterworth de ordem
escolhido com frequência de corte
tomada igual à borda da banda de passagem
(prática comum), a resposta em módulo do passa-altas é, em termos normalizados
,
Do enunciado:
. Vamos obter o parâmetro de ondulação
a partir de
e depois usar a especificação de
na frequência de rejeição
para extrair
.
Passos a calcular agora:
- calcular
a partir de dB; - usar a relação em
para obter uma desigualdade que determina ; - escolher
inteiro mínimo que satisfaça a desigualdade.
Passo 3
Cálculo de
(relaciona atenuação de passagem
com
).
A atenuação máxima na banda de passagem
(em dB) é dada por
Logo
Substituindo
:
Agora calculamos numericamente:
Passo 4
Determinar a ordem mínima
usando a condição de atenuação na frequência de rejeição
.
Para o passa-altas com
, na frequência
a magnitude é
A especificação de atenuação no stopband
(em dB) implica
Rearranjando:
Tomando logaritmos e isolando
:
Passo 5
Substituir valores numéricos para obter
.
Dados numéricos:
A razão de frequências:
Agora:
Como
deve ser inteiro, o menor
que atende é
.
Passo 6
Resumo parcial (resposta da letra a): a menor ordem é
.
Agora vamos determinar os polos do filtro Butterworth passa-altas de ordem
. É conveniente primeiro obter os polos do protótipo passa-baixas normalizado (com
) e depois aplicar a transformação passa-baixas
passa-altas
(ou, equivalentemente, inverter os polos e multiplicar por
).
Polos do Butterworth normalizado (low-pass,
) de ordem
estão sobre o círculo unitário em ângulos
e os polos são
. Para o passa-altas usamos
Passo 7
Cálculo explícito para
. Os ângulos são (usar
):
Isso dá:
Os polos normalizados LP são
; os polos HP são
(pois
). Vamos calcular numericamente
e os polos.
Passo 8
Valor numérico de
:
Cossenos e senos dos ângulos usados (valores conhecidos):
e os outros são conjugados correspondentes.
Multiplicando por
e aplicando o expoente negativo no ângulo (equivalente a multiplicar por
) obtemos os polos do passa-altas:
Calculando numericamente (multiplicando por
):
Assim os polos são:
Passo 9
Expressão da função de transferência
do Butterworth passa-altas de ordem
com ganho unitário na banda de passagem.
A forma fatorada natural (com ganho unitário em altas frequências) é
onde os
são os polos calculados no passo anterior e
está em rad/s. Essa forma garante comportamento passa-altas e ganho em altas frequências tendendo a
(pois grau do numerador = grau do denominador e o coeficiente dominante é 1).
Podemos também expressar
como cascata de duas seções de segunda ordem (útil para implementação):
com
(ambas as seções têm a mesma
= frequência natural) e dois valores de
que correspondem aos pares de polos conjugados. Vamos calcular esses
-s.
Passo 10
Cálculo dos parâmetros naturais
e dos fatores de qualidade
das duas seções de 2ª ordem.
Para um par de polos conjugados
temos
e o amortecimento
, com
.
Nos dois pares aqui, as magnitudes
são iguais a
(pois os polos do protótipo estavam no círculo unitário e depois foram multiplicados por
). Portanto
para ambas as seções. Agora os
(valores positivos) dos pares são
e
(rad/s), respectivamente. Assim:
Para o par
:
Para o par
:
Portanto as duas seções de 2ª ordem (cada uma com
) têm
e
.
Passo 11
Escolha da implementação Sallen–Key e valores práticos para componentes.
Estratégia prática: implementar o filtro como cascata de duas seções Sallen–Key passa-altas de segunda ordem. Cada seção realiza a função
e
.
Usamos a topologia Sallen–Key não inversora (configuração conhecida) para cada seção. Para projetar uma seção Sallen–Key de 2ª ordem é comum escolher
e
para simplificar. Nesse caso a frequência natural fica
e o fator de qualidade
fica relacionado ao ganho do seguidor ativo (para a topologia com ganho
do buffer) segundo a relação (configuração padrão):
Dessa forma, escolhendo
e
obtemos uma expressão simples para
:
(Obs.: essa é a fórmula utilizada comumente para a topologia Sallen–Key com os rótulos convencionais; usar
e
facilita o projeto e dá valores práticos.)
Passo 12
Escolher valores práticos de
e calcular
, e obter
para cada seção.
Escolho capacitores práticos
para ambas as seções (valor comum e fácil de obter). Assim:
Vamos usar valores comerciais arredondados:
em cada seção.
Agora calculamos
para cada seção a partir dos
calculados no passo anterior:
Para
:
Para
:
Esses
correspondem ao ganho do estágio não inversor que faz parte da célula Sallen–Key (ou seja, o amplificador operacional na malha alimentar do SK tem ganho
). Em um amplificador não inversor
. Escolhemos resistores de ganho padrão para implementar
.
Escolha prática:
- adote
em ambos os estágios; - então
.
Calculando:
Assim cada seção terá a topologia Sallen–Key passa-altas com
,
e o op-amp configurado como amplificador não inversor com ganho
e
implementados pelos pares
e
acima.
Passo 13
Observações sobre ganho total: A forma que usamos para cada seção
está normalizada para que o ganho em altas frequências de cada seção tenda a 1 (essa é a forma usual de uma seção passa-altas canônica). Ao implementar a célula Sallen–Key com a geometria e ganhos
calculados (a fórmula
foi assumida para a topologia canônica com os rótulos escolhidos), a resposta real do circuito corresponde àquela seção canônica. Portanto a cascata das duas seções fornece o Butterworth passa-altas de 4ª ordem com ganho unitário na banda de passagem (projeto normalizado foi feito para assegurar isso). (Na prática verificar com simulação garante que o produto das duas seções tende a ganho unitário em altas frequências.)
Passo 14
Agora calculamos as respostas em amplitude e fase para as três frequências pedidas. Usamos a forma normalizada da seção de 2ª ordem passa-altas:
O módulo de cada seção é
e a fase de cada seção (em graus) pode ser obtida por
A fase total é soma das fases das duas seções; o ganho total em módulo é o produto dos módulos das seções.
Usamos os valores:
Passo 15
Cálculos para cada frequência (usar
).
i)
.
Para a seção 1 (
):
Fase da seção 1:
Para a seção 2 (
):
Fase da seção 2:
Produto total:
Fase total:
Assim a saída para
terá amplitude
e fase
.
Passo 16
ii)
.
Seção 1 (
):
Seção 2 (
):
Produto total:
Fase total:
Assim a saída para
terá amplitude
e fase
.
Passo 17
iii)
.
Seção 1:
Seção 2:
Produto total:
Fase total:
Portanto para
a saída tem amplitude
e fase
.
Passo 18
Esquema prático (descrição textual do circuito Sallen–Key em duas seções em cascata):
- Entrada
→ Seção HP de 2ª ordem (Sallen–Key) com , e amplificador não inversor com ganho implementado por e . Saída dessa seção → entrada da segunda seção. - Segunda seção HP de 2ª ordem (Sallen–Key) com os mesmos
, e amplificador não inversor com ganho implementado por e . Saída final .
(Observação prática: use resistores comerciais próximos aos valores calculados; ajustar com simulação para compensar tolerâncias e obter precisamente o comportamento Butterworth.)
Resposta
a.
.
b. Os polos (em rad/s) são
c. Função de transferência (forma fatorada):
ou, em seções de segunda ordem:
com
,
,
.
d. Implementação Sallen–Key (duas seções em cascata) — valores escolhidos:
(Esquematicamente: entrada → SK HP (seção 1) → SK HP (seção 2) → saída; cada SK com os
e
acima e o op-amp configurado como não inversor com
.)
e. Saídas para entradas unitárias (
):
i.
ii.
iii.
]