O núcleo da transformação linear
T(x, y, z)=(x+y-z, x-y-z, \alpha x+y+z), \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}
tem dimensão 1. Sendo assim, pode-se afirmar que \alpha é igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
T(x,y,z)=(x+y-z,\;x-y-z,\;\alpha x+y+z),\quad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
e diz que o núcleo (ker) de T tem dimensão 1. A pergunta é: qual é o valor de \alpha entre as opções:
a) -2; b) -1; c) 0; d) 1; e) 2.
Informações relevantes dadas:
  • A transformação T está definida em \mathbb{R}^3.
  • Sabe-se que \dim(\ker T)=1.
  • Quer-se determinar o valor de \alpha.

Passo 2

Idéia geral (explicação didática do que vamos usar).
  • Qualquer transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tem, na base canônica, uma matriz A tal que T(v)=A v.
  • O núcleo de T é o espaço das soluções de A v=0. A dimensão do núcleo (nullidade) está ligada à posto (rank) pela fórmula de dimensão (teorema do posto-nulidade):
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=3.
  • Como \dim(\ker A)=1, então \operatorname{rank}(A)=2.
  • Para uma matriz 3\times3, ter posto 2 significa que seu determinante é zero (pois posto 3 <=> determinante \neq0), mas a matriz não deve ficar com posto 1 (o que daria nulidade 2). Assim, procuraremos \alpha que faz \det(A)=0 e, em seguida, verificaremos que o posto é exatamente 2.

Passo 3

Obter a matriz A de T na base canônica.
  • Aplicando T nos vetores da base canônica:
    • T(1,0,0)=(1,1,\alpha),
    • T(0,1,0)=(1,-1,1),
    • T(0,0,1)=(-1,-1,1).
  • Colocando essas imagens como colunas, a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1\\[4pt] \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de A (passo a passo).
Usando desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]\alpha & 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]\alpha & 1\end{pmatrix}.
Calculemos cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-(-1)\cdot1= -1-(-1)=0,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]\alpha & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot\alpha=1+\alpha.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 0 -1\cdot(1+\alpha)+(-1)\cdot(1+\alpha) = -2(1+\alpha).]

Passo 5

Encontrar \alpha tal que \det(A)=0.
Da expressão encontrada:
\det(A)=-2(1+\alpha)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+\alpha=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=-1.

Passo 6

Verificar que, para \alpha=-1, o posto de A é exatamente 2 (e não 1).
Substituindo \alpha=-1 na matriz:
A_{\,\alpha=-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Façamos operações elementares para ver o posto (linha a linha, bem mastigado):
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1 R_2=(0,-2,0).
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1 R_3=(0,2,0).
Agora as linhas são
R_1=(1,1,-1),\qquad R_2=(0,-2,0),\qquad R_3=(0,2,0).
Observa-se que R_3=-R_2, então há exatamente duas linhas linearmente independentes ( R_1 e R_2). Portanto \operatorname{rank}(A_{\,\alpha=-1})=2.
Com isso, pela fórmula da dimensão,
\dim(\ker A)=3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1,
que é exatamente a condição pedida.]

Passo 7

Conclusão lógica final:
  • Para \alpha=-1 temos \det(A)=0 e \operatorname{rank}(A)=2, logo \dim(\ker A)=1.
  • Para qualquer outro \alpha, \det(A)\neq0 e então \operatorname{rank}(A)=3, o que dá \dim(\ker A)=0, não satisfazendo a condição do enunciado.
Portanto o valor pedido é \alpha=-1.

Resposta

b) -1

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