e diz que o núcleo (ker) de T tem dimensão 1. A pergunta é: qual é o valor de \alpha entre as opções:
a) -2; b) -1; c) 0; d) 1; e) 2.
Informações relevantes dadas:
A transformação T está definida em \mathbb{R}^3.
Sabe-se que \dim(\ker T)=1.
Quer-se determinar o valor de \alpha.
Passo 2
Idéia geral (explicação didática do que vamos usar).
Qualquer transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tem, na base canônica, uma matriz A tal que T(v)=A v.
O núcleo de T é o espaço das soluções de A v=0. A dimensão do núcleo (nullidade) está ligada à posto (rank) pela fórmula de dimensão (teorema do posto-nulidade):
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=3.
Como \dim(\ker A)=1, então \operatorname{rank}(A)=2.
Para uma matriz 3\times3, ter posto 2 significa que seu determinante é zero (pois posto 3 <=> determinante \neq0), mas a matriz não deve ficar com posto 1 (o que daria nulidade 2). Assim, procuraremos \alpha que faz \det(A)=0 e, em seguida, verificaremos que o posto é exatamente 2.
Passo 3
Obter a matriz A de T na base canônica.
Aplicando T nos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,\alpha),
T(0,1,0)=(1,-1,1),
T(0,0,1)=(-1,-1,1).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz A é