Suponha que a Marinha do Brasil utilize um sistema de navegação baseado em vetores para controle de drones submarinos. Considere o subespaço W de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores
V_{1}=(1,0,2) \quad \text { e } \quad V_{2}=(0,1,-1)
e assinale a opção que apresenta um vetor que não pertence a W.
a) (3,2,4)
b) (2,-1,5)
c) (1,1,1)
(d) (0,0,1)
e) (-1,2,-4)

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores
V_{1}=(1,0,2)\quad\text{e}\quad V_{2}=(0,1,-1).
Pede-se para assinalar a opção que apresenta um vetor que NÃO pertence a W. As alternativas são:
a) (3,2,4)
b) (2,-1,5)
c) (1,1,1)
d) (0,0,1)
e) (-1,2,-4)

Passo 2

Escolha do método: como W é o subespaço gerado por V_{1} e V_{2}, um vetor pertence a W exatamente quando pode ser escrito como combinação linear desses geradores. Esse é o método mais direto e elementar: assumir coeficientes escalares a,b e resolver as equações nas coordenadas. Vou usar esse procedimento porque é simples e rápido numa prova.

Passo 3

Escrever a combinação linear geral. Um vetor qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pertence a W se existem escalares a,b tais que
aV_{1}+bV_{2}=(x,y,z).
Substituindo V_{1} e V_{2},
a(1,0,2)+b(0,1,-1)=(x,y,z).

Passo 4

Igualando coordenadas obtemos o sistema de três equações:
\begin{cases} a = x,\\[4pt] b = y,\\[4pt] 2a - b = z. \end{cases}
Das duas primeiras equações temos a=x e b=y. Substituindo na terceira obtemos a condição necessária e suficiente de pertença:
z = 2a - b = 2x - y.
Portanto, um vetor (x,y,z) pertence a W se, e somente se,
z = 2x - y.
Essa é a condição de teste simples que usarei nas alternativas.]

Passo 5

Testar a alternativa (a) (3,2,4). Aqui x=3, y=2, z=4. Calcular 2x-y:
2x-y = 2\cdot 3 - 2 = 6-2 = 4.
Como 2x-y = 4 = z, a condição é satisfeita, logo (3,2,4)\in W.

Passo 6

Testar a alternativa (b) (2,-1,5). Aqui x=2, y=-1, z=5. Calcular 2x-y:
2x-y = 2\cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5.
Como 2x-y = 5 = z, a condição é satisfeita, logo (2,-1,5)\in W.

Passo 7

Testar a alternativa (c) (1,1,1). Aqui x=1, y=1, z=1. Calcular 2x-y:
2x-y = 2\cdot 1 - 1 = 2-1 = 1.
Como 2x-y = 1 = z, a condição é satisfeita, logo (1,1,1)\in W.

Passo 8

Testar a alternativa (d) (0,0,1). Aqui x=0, y=0, z=1. Calcular 2x-y:
2x-y = 2\cdot 0 - 0 = 0.
Como 2x-y = 0 \neq 1 = z, a condição NÃO é satisfeita, logo (0,0,1)\notin W.

Passo 9

Testar a alternativa (e) (-1,2,-4). Aqui x=-1, y=2, z=-4. Calcular 2x-y:
2x-y = 2\cdot(-1) - 2 = -2 - 2 = -4.
Como 2x-y = -4 = z, a condição é satisfeita, logo (-1,2,-4)\in W.

Passo 10

Conclusão: entre as alternativas dadas, apenas a opção (d) falha na condição z=2x-y e, portanto, é o vetor que não pertence a W.

Resposta

d) (0,0,1)

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