Suponha que a Marinha do Brasil utilize um sistema de navegação baseado em vetores para controle de drones submarinos. Considere o subespaço W de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores
V_{1}=(1,0,2) \quad \text { e } \quad V_{2}=(0,1,-1)
e assinale a opção que apresenta um vetor que não pertence a W.
a) (3,2,4)
b) (2,-1,5)
c) (1,1,1)
(d) (0,0,1)
e) (-1,2,-4)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores
V_{1}=(1,0,2)\quad\text{e}\quad V_{2}=(0,1,-1).
Pede-se para assinalar a opção que apresenta um vetor que NÃO pertence a W. As alternativas são:
a) (3,2,4)
b) (2,-1,5)
c) (1,1,1)
d) (0,0,1)
e) (-1,2,-4)
Passo 2
Escolha do método: como W é o subespaço gerado por V_{1} e V_{2}, um vetor pertence a W exatamente quando pode ser escrito como combinação linear desses geradores. Esse é o método mais direto e elementar: assumir coeficientes escalares a,b e resolver as equações nas coordenadas. Vou usar esse procedimento porque é simples e rápido numa prova.
Passo 3
Escrever a combinação linear geral. Um vetor qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pertence a W se existem escalares a,b tais que
aV_{1}+bV_{2}=(x,y,z).
Substituindo V_{1} e V_{2},
a(1,0,2)+b(0,1,-1)=(x,y,z).
Passo 4
Igualando coordenadas obtemos o sistema de três equações:
\begin{cases} a = x,\\[4pt] b = y,\\[4pt] 2a - b = z. \end{cases}
Das duas primeiras equações temos a=x e b=y. Substituindo na terceira obtemos a condição necessária e suficiente de pertença:
z = 2a - b = 2x - y.
Portanto, um vetor (x,y,z) pertence a W se, e somente se,
z = 2x - y.
Essa é a condição de teste simples que usarei nas alternativas.]