Qual é o número máximo de linhas de emissão possíveis para o átomo de hidrogênio no estado n= 4?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinito

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o número máximo de linhas de emissão possíveis para o átomo de hidrogênio no estado n=4?”
Informações dadas:
  • O átomo está no nível energético n=4.
  • As alternativas são: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinito.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa “linhas de emissão” e quais interpretações razoáveis existem para a pergunta.
Explicação didática (sem usar jargão pesado): quando um elétron cai de um nível de energia mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton com energia igual à diferença entre esses níveis. Cada transição entre dois níveis distintos gera uma linha espectral (uma frequência/energia) no espectro de emissão.
Há duas interpretações comuns da pergunta:
  • Interpretação A (linhas emitidas por UM átomo durante sua desexcitação completa): quantos fótons, no máximo, um único átomo pode emitir ao descer do nível n até o nível fundamental n=1 realizando quedas uma a uma (cascata)?
  • Interpretação B (número máximo de linhas distintas que podem aparecer no espectro considerando todas as transições possíveis entre os níveis 1,2,\dots,n): quantas linhas diferentes existem entre todos os pares de níveis entre 1 e n?
Vou explicar as duas fórmulas para você saber quando aplicar cada uma.

Passo 3

Fórmula e raciocínio para a Interpretação A (fótons emitidos por um átomo em uma cascata máxima):
  • Se o elétron está em \,n, para chegar em \,1 fazendo o máximo de emissões possíveis ele pode descer um nível por vez: n\to n-1\to n-2\to\cdots\to2\to1.
  • Cada queda de um nível gera 1 fóton. O número de quedas é o número de níveis percorridos: (n-1).
  • Portanto, o máximo de fótons (ou “linhas emitidas por um átomo em uma desexcitação máxima”) é
n-1.

Passo 4

Fórmula e raciocínio para a Interpretação B (linhas distintas entre todos os níveis de 1 a n):
  • Cada par de níveis distintos (i,j) com i\ne j gera, no máximo, 1 linha (a transição entre esses dois níveis). Como a ordem (cair de i para j ou de j para i) dá a mesma diferença de energia em módulo, contamos pares não ordenados.
  • O número de pares não ordenados entre n níveis é o número de combinações de n elementos tomados 2 a 2:
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
  • Essa é a quantidade máxima de linhas distintas que podem aparecer no espectro se considerarmos todas as transições possíveis entre níveis até n.

Passo 5

Aplicando ambas as fórmulas ao caso n=4:
Interpretação A (máximo de fótons emitidos por um átomo em cascata):
n-1 = 4-1 = 3.
Logo, um único átomo pode emitir no máximo 3 fótons ao descer de 4 até 1 passando por todos os níveis.
Interpretação B (linhas distintas entre todos os níveis 1 a 4):
\frac{n(n-1)}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6.
As transições distintas listadas seriam: 4\to3,\;4\to2,\;4\to1,\;3\to2,\;3\to1,\;2\to1 — total 6 linhas.

Passo 6

Agora ligar isso às alternativas: as opções dadas são 1,2,3,4, e \text{infinito}. A opção que aparece entre elas e que coincide com uma resposta correta sob a interpretação mais comum quando a pergunta fala do “átomo” no estado n=4 (isto é, o que um único átomo pode emitir ao desexcitar-se) é 3. A alternativa correspondente é a letra c).
Observação importante (para a prova): se o enunciado pedisse explicitamente "quantas linhas distintas podem aparecer no espectro de emissão considerando todas as transições até n=4", a resposta seria 6 (mas essa opção não está entre as alternativas oferecidas). Portanto, dada a redação que fala "para o átomo … no estado n=4", a interpretação que corresponde às alternativas é a do número máximo de fótons emitidos por esse átomo na desexcitação completa, que é 3.

Resposta

c)

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