Qual o número mínimo de pessoas em uma sala para garantir que pelo menos duas nasceram no mesmo dia da semana?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o número mínimo de pessoas em uma sala para que se tenha a garantia de que pelo menos duas delas nasceram no mesmo dia da semana.
Informações dadas / relevantes:
Informações dadas / relevantes:
- Os dias da semana são sete categorias distintas:
dias no total. - Cada pessoa tem exatamente um dia da semana em que nasceu.
- Queremos uma garantia absoluta — ou seja, um número de pessoas tal que, independentemente de como os dias de nascimento estejam distribuídos entre elas, sempre haverá pelo menos duas com o mesmo dia da semana.
Passo 2
Vamos entender o princípio matemático que resolve esse tipo de pergunta (explicado de forma simples): o Princípio da Casa dos Pombos (pigeonhole principle).
O enunciado informal desse princípio é: se você colocar objetos (os “pombos”) em
recipientes (as “casas”) e
, então pelo menos um recipiente conterá pelo menos dois objetos.
Explicando as letras:
O enunciado informal desse princípio é: se você colocar
Explicando as letras:
-
é o número de objetos — aqui, o número de pessoas na sala. -
é o número de recipientes possíveis — aqui, o número de dias da semana (ou categorias) disponíveis, que é .
Uma forma útil de pensar é: o número mínimonecessário para garantir que alguma casa tenha pelo menos pombos é o menor tal que
onde
é a função teto (arredonda para cima). Isso ocorre quando
, portanto o menor
com essa propriedade é
.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema:
(os
dias da semana). Pelo raciocínio do princípio da casa dos pombos, o menor
que garante que alguma categoria tenha pelo menos
pessoas é
Passo 4
Para reforçar a intuição e mostrar que
é realmente o mínimo (não dá para pedir menos):
- Com
pessoas é possível que cada uma tenha nascido em um dia diferente da semana (uma pessoa em cada dia). Nesse arranjo não há nenhuma repetição de dia, então pessoas não garantem que haja duas com o mesmo dia. - Com
pessoas, como há apenas dias, pelo Princípio da Casa dos Pombos alguma das categorias (algum dia) terá pelo menos pessoas. Logo pessoas já garantem a repetição.
Portantoé suficiente e não é suficiente — isto mostra minimalidade.
Passo 5
Resumo didático rápido: como há
categorias possíveis (dias) e queremos forçar uma repetição, precisamos de uma pessoa a mais do que o número de categorias. Isso dá
.