Qual o número mínimo de pessoas em uma sala para garantir que pelo menos duas nasceram no mesmo dia da semana?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o número mínimo de pessoas em uma sala para que se tenha a garantia de que pelo menos duas delas nasceram no mesmo dia da semana.
Informações dadas / relevantes:
  • Os dias da semana são sete categorias distintas: 7 dias no total.
  • Cada pessoa tem exatamente um dia da semana em que nasceu.
  • Queremos uma garantia absoluta — ou seja, um número de pessoas tal que, independentemente de como os dias de nascimento estejam distribuídos entre elas, sempre haverá pelo menos duas com o mesmo dia da semana.

Passo 2

Vamos entender o princípio matemático que resolve esse tipo de pergunta (explicado de forma simples): o Princípio da Casa dos Pombos (pigeonhole principle).
O enunciado informal desse princípio é: se você colocar n objetos (os “pombos”) em k recipientes (as “casas”) e n>k, então pelo menos um recipiente conterá pelo menos dois objetos.
Explicando as letras:
  • n é o número de objetos — aqui, o número de pessoas na sala.
  • k é o número de recipientes possíveis — aqui, o número de dias da semana (ou categorias) disponíveis, que é 7.
    Uma forma útil de pensar é: o número mínimo n necessário para garantir que alguma casa tenha pelo menos 2 pombos é o menor n tal que
\left\lceil \dfrac{n}{k} \right\rceil \ge 2,
onde \lceil \cdot \rceil é a função teto (arredonda para cima). Isso ocorre quando n>k, portanto o menor n com essa propriedade é n=k+1.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: k=7 (os 7 dias da semana). Pelo raciocínio do princípio da casa dos pombos, o menor n que garante que alguma categoria tenha pelo menos 2 pessoas é
n = k+1 = 7+1 = 8.

Passo 4

Para reforçar a intuição e mostrar que 8 é realmente o mínimo (não dá para pedir menos):
  • Com 7 pessoas é possível que cada uma tenha nascido em um dia diferente da semana (uma pessoa em cada dia). Nesse arranjo não há nenhuma repetição de dia, então 7 pessoas não garantem que haja duas com o mesmo dia.
  • Com 8 pessoas, como há apenas 7 dias, pelo Princípio da Casa dos Pombos alguma das 7 categorias (algum dia) terá pelo menos 2 pessoas. Logo 8 pessoas já garantem a repetição.
    Portanto 8 é suficiente e 7 não é suficiente — isto mostra minimalidade.

Passo 5

Resumo didático rápido: como há 7 categorias possíveis (dias) e queremos forçar uma repetição, precisamos de uma pessoa a mais do que o número de categorias. Isso dá 7+1=8.

Resposta

8 pessoas.

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