Em uma turma de 50 alunos, mostre que pelo menos 5 deles fazem aniversário no mesmo mês.
Passo 1
O enunciado dá: uma turma com
alunos e pede para mostrar que pelo menos
deles fazem aniversário no mesmo mês. Informação relevante: há
meses do ano, cada aluno tem um mês de aniversário (um mês por aluno). O que precisamos provar é que existe algum mês que contém pelo menos
aniversariantes.
Passo 2
Vou explicar um conceito simples que vamos usar: o princípio das gavetas (ou princípio da casa dos pombos). Ele diz o seguinte de forma intuitiva: se colocamos
objetos em
compartimentos (gavetas), então algum compartimento contém pelo menos
objetos. Aqui
é a função teto, que dá o menor inteiro maior ou igual a
. Exemplo rápido:
.
Passo 3
Aplicando o princípio das gavetas ao problema:
- os objetos (pombos) são os
alunos; - os compartimentos (gavetas) são os
meses.
Calculamos a média. Em conta:
Logo o teto é
Portanto, por este princípio, existe pelo menos um mês com pelo menos
alunos fazendo aniversário.
Passo 4
Faço também uma prova por contradição (às vezes ajuda na prova/na prova oral): suponha que nenhum mês tivesse
ou mais aniversariantes, isto é, suponha que cada mês tivesse no máximo
aniversariantes. Então o número máximo de alunos que poderiam existir seria
Mas a turma tem
alunos, e
. Contradição. Logo a suposição é falsa e existe pelo menos um mês com
aniversariantes.
Passo 5
Resumo do raciocínio de forma bem simples e prática (do tipo que dá para escrever rápido na prova): ou você usa o princípio das gavetas com
, ou argumenta por contradição que
. Em qualquer dos dois modos, concluímos que algum mês tem pelo menos
aniversariantes. Vai dar certo na prova — respira, isso é direto.
Resposta
Existe pelo menos um mês com
alunos fazendo aniversário.