Em uma turma de 50 alunos, mostre que pelo menos 5 deles fazem aniversário no mesmo mês.

Passo 1

O enunciado dá: uma turma com 50 alunos e pede para mostrar que pelo menos 5 deles fazem aniversário no mesmo mês. Informação relevante: há 12 meses do ano, cada aluno tem um mês de aniversário (um mês por aluno). O que precisamos provar é que existe algum mês que contém pelo menos 5 aniversariantes.

Passo 2

Vou explicar um conceito simples que vamos usar: o princípio das gavetas (ou princípio da casa dos pombos). Ele diz o seguinte de forma intuitiva: se colocamos n objetos em k compartimentos (gavetas), então algum compartimento contém pelo menos \lceil n/k\rceil objetos. Aqui \lceil x\rceil é a função teto, que dá o menor inteiro maior ou igual a x. Exemplo rápido: \lceil 4{,}2\rceil = 5.

Passo 3

Aplicando o princípio das gavetas ao problema:
  • os objetos (pombos) são os 50 alunos;
  • os compartimentos (gavetas) são os 12 meses.
    Calculamos a média \dfrac{50}{12}. Em conta:
\dfrac{50}{12}=4+\dfrac{2}{12}=4+\dfrac{1}{6}\approx 4{,}166\ldots
Logo o teto é
\left\lceil \dfrac{50}{12}\right\rceil = 5.
Portanto, por este princípio, existe pelo menos um mês com pelo menos 5 alunos fazendo aniversário.

Passo 4

Faço também uma prova por contradição (às vezes ajuda na prova/na prova oral): suponha que nenhum mês tivesse 5 ou mais aniversariantes, isto é, suponha que cada mês tivesse no máximo 4 aniversariantes. Então o número máximo de alunos que poderiam existir seria
12\cdot 4 = 48.
Mas a turma tem 50 alunos, e 48<50. Contradição. Logo a suposição é falsa e existe pelo menos um mês com \ge 5 aniversariantes.

Passo 5

Resumo do raciocínio de forma bem simples e prática (do tipo que dá para escrever rápido na prova): ou você usa o princípio das gavetas com \lceil 50/12\rceil=5, ou argumenta por contradição que 12\cdot 4=48<50. Em qualquer dos dois modos, concluímos que algum mês tem pelo menos 5 aniversariantes. Vai dar certo na prova — respira, isso é direto.

Resposta

Existe pelo menos um mês com 5 alunos fazendo aniversário.

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