Um número natural de seis algarismos é composto de modo que o primeiro algarismo à esquerda seja o dobro do terceiro algarismo. O segundo algarismo é o triplo do quarto
algarismo. Além disso, o terceiro e quarto algarismos são iguais, e os dois últimos algarismos somam 10. Sabendo que todos os algarismos são diferentes e que a soma de todos os algarismos do número é 30 , descubra qual é esse número.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado nos dá (vou chamar os algarismos, da esquerda para a direita, de \,d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6,).
  • É um número natural de seis algarismos, portanto os algarismos estão em 0,1,\dots,9 e \,d_1\neq0.
  • O primeiro algarismo é o dobro do terceiro: d_1 = 2d_3.
  • O segundo algarismo é o triplo do quarto: d_2 = 3d_4.
  • O terceiro e o quarto algarismos são iguais: d_3 = d_4.
  • Os dois últimos algarismos somam 10: d_5 + d_6 = 10.
  • Todos os algarismos são diferentes (isto é, todos os d_i são distintos).
  • A soma de todos os algarismos é 30: d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6 = 30.
O objetivo é encontrar o número (ou concluir que não existe) que satisfaça todas essas condições.

Passo 2

Primeiro faço substituições usando as igualdades simples para reduzir o número de variáveis. Como d_3=d_4 e d_2=3d_4, temos também
d_2 = 3d_3.
E como d_1=2d_3, os quatro primeiros algarismos ficam expressos em função de d_3:
d_1=2d_3,\qquad d_2=3d_3,\qquad d_3=d_3,\qquad d_4=d_3.
Agora escrevo a soma dos algarismos usando essas substituições. A soma total é
d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6 = (2d_3)+(3d_3)+d_3+d_3 + (d_5+d_6).
Agrupando,
2d_3+3d_3+d_3+d_3 = 7d_3,
logo a soma total fica
7d_3 + (d_5+d_6).

Passo 3

Usando a condição d_5+d_6=10 e a soma total =30, obtenho a equação
7d_3 + 10 = 30.
Subtraindo 10 dos dois lados,
7d_3 = 20.
Dividindo por 7,
d_3 = \frac{20}{7}.

Passo 4

Agora observo o que isso implica: \dfrac{20}{7} não é um número inteiro, e um algarismo deve ser um inteiro entre 0 e 9. Portanto a igualdade anterior dá um valor impossível para d_3. Assim, as condições numéricas dadas levam a uma contradição aritmética — não existe d_3\in\{0,\dots,9\} que satisfaça essa equação.
Além disso, há outra contradição direta nas condições originais: o enunciado diz que o terceiro e o quarto algarismos são iguais ( d_3=d_4) e, ao mesmo tempo, diz que “todos os algarismos são diferentes”. Essas duas afirmações são incompatíveis entre si (duas posições não podem ser simultaneamente iguais e diferentes). Portanto há também uma contradição lógica nas condições do enunciado.

Passo 5

Conclusão: as condições do problema (as relações entre d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6, a soma dos dois últimos, a soma total e a exigência de algarismos todos distintos) são incompatíveis — a consequência algébrica dá um valor não inteiro para d_3 e a exigência de “todos diferentes” contraria d_3=d_4. Logo não é possível encontrar um número de seis algarismos que satisfaça todas as condições dadas.

Resposta

Não existe número de seis algarismos que satisfaça simultaneamente todas as condições do enunciado.

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