Um número natural de seis algarismos é composto de modo que o primeiro algarismo à esquerda seja o dobro do terceiro algarismo. O segundo algarismo é o triplo do quarto
algarismo. Além disso, o terceiro e quarto algarismos são iguais, e os dois últimos algarismos somam 10. Sabendo que todos os algarismos são diferentes e que a soma de todos os algarismos do número é 30 , descubra qual é esse número.
algarismo. Além disso, o terceiro e quarto algarismos são iguais, e os dois últimos algarismos somam 10. Sabendo que todos os algarismos são diferentes e que a soma de todos os algarismos do número é 30 , descubra qual é esse número.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado nos dá (vou chamar os algarismos, da esquerda para a direita, de
,).
- É um número natural de seis algarismos, portanto os algarismos estão em
e . - O primeiro algarismo é o dobro do terceiro:
- O segundo algarismo é o triplo do quarto:
- O terceiro e o quarto algarismos são iguais:
- Os dois últimos algarismos somam
: - Todos os algarismos são diferentes (isto é, todos os
são distintos). - A soma de todos os algarismos é
:
O objetivo é encontrar o número (ou concluir que não existe) que satisfaça todas essas condições.
Passo 2
Primeiro faço substituições usando as igualdades simples para reduzir o número de variáveis. Como
e
, temos também
E como
, os quatro primeiros algarismos ficam expressos em função de
:
Agora escrevo a soma dos algarismos usando essas substituições. A soma total é
Agrupando,
logo a soma total fica
Passo 3
Usando a condição
e a soma total
, obtenho a equação
Subtraindo
dos dois lados,
Dividindo por
,
Passo 4
Agora observo o que isso implica:
não é um número inteiro, e um algarismo deve ser um inteiro entre
e
. Portanto a igualdade anterior dá um valor impossível para
. Assim, as condições numéricas dadas levam a uma contradição aritmética — não existe
que satisfaça essa equação.
Além disso, há outra contradição direta nas condições originais: o enunciado diz que o terceiro e o quarto algarismos são iguais (
) e, ao mesmo tempo, diz que “todos os algarismos são diferentes”. Essas duas afirmações são incompatíveis entre si (duas posições não podem ser simultaneamente iguais e diferentes). Portanto há também uma contradição lógica nas condições do enunciado.
Passo 5
Conclusão: as condições do problema (as relações entre
, a soma dos dois últimos, a soma total e a exigência de algarismos todos distintos) são incompatíveis — a consequência algébrica dá um valor não inteiro para
e a exigência de “todos diferentes” contraria
. Logo não é possível encontrar um número de seis algarismos que satisfaça todas as condições dadas.
Resposta
Não existe número de seis algarismos que satisfaça simultaneamente todas as condições do enunciado.