Se a é um número real maior que 1 / 8, o valor de \sqrt{a+\frac{a+1}{3} \sqrt{\frac{8 a-1}{3}}}+\sqrt{a-\frac{a+1}{3} \sqrt{\frac{8 a-1}{3}}} éigual a: (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8 (e) (2/3)a

Passo 1

O enunciado dá o número real a com a condição a>\tfrac{1}{8} e pede o valor da expressão
\sqrt{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}} +\sqrt{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.
As alternativas oferecidas são: (a) 1, (b) 2, (c) 4, (d) 8, (e) \tfrac{2}{3}a.
Informações relevantes do enunciado:
  • A raiz interna \sqrt{\frac{8a-1}{3}} é real graças à hipótese a>\tfrac{1}{8}.
  • Precisamos avaliar a soma de duas raízes quadradas com termos simétricos a\pm \text{(algo)}.
  • Não há outras condições fornecidas (por exemplo, restrição adicional para que ambas as radicais exteriores sejam reais); deixamos isso explícito para tratar depois.

Passo 2

Vamos nomear as quantidades para trabalhar de forma organizada. Defina
k=\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}, \qquad A=a+k, \qquad B=a-k.
A expressão buscada é
S=\sqrt{A}+\sqrt{B}.
Método: uma técnica padrão para somas de raízes quadradas é calcular S^2, porque
S^2 = (\sqrt{A}+\sqrt{B})^2 = A+B+2\sqrt{AB}.
Esta identidade é simplesmente a expansão de um quadrado: (x+y)^2=x^2+2xy+y^2, com x=\sqrt{A}, y=\sqrt{B}. Vamos usar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule A+B e AB:
A+B=(a+k)+(a-k)=2a.
AB=(a+k)(a-k)=a^2-k^2.
Portanto
S^2 = 2a + 2\sqrt{a^2-k^2}.
Agora precisamos calcular k^2 explicitamente em termos de a. Lembre que
k=\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}},
então
k^2=\frac{(a+1)^2}{9}\cdot\frac{8a-1}{3}=\frac{(a+1)^2(8a-1)}{27}.

Passo 4

Calcule a^2-k^2 com atenção aos detalhes (vou expandir os polinômios passo a passo):
a^2-k^2 = a^2 - \frac{(a+1)^2(8a-1)}{27} = \frac{27a^2 - (a+1)^2(8a-1)}{27}.
Expanda (a+1)^2(8a-1). Primeiro (a+1)^2=a^2+2a+1. Multiplicando por (8a-1):
(a^2+2a+1)(8a-1)=8a^3- a^2 +16a^2 -2a +8a -1 = 8a^3+15a^2+6a-1.
Substituindo:
27a^2 - (8a^3+15a^2+6a-1) = -8a^3 +12a^2 -6a +1.
Observe que o polinômio do lado direito é o negativo de um cubo perfeito:
-8a^3 +12a^2 -6a +1 = -\bigl(8a^3 -12a^2 +6a -1\bigr).
E
8a^3 -12a^2 +6a -1 = (2a-1)^3.
Portanto
27a^2 - (a+1)^2(8a-1) = -(2a-1)^3,
e assim
a^2-k^2 = -\frac{(2a-1)^3}{27}.
Como -(2a-1)^3 = (1-2a)^3, escrevemos de forma mais conveniente (para a raiz real quando 1-2a\ge 0):
a^2-k^2 = \frac{(1-2a)^3}{27}.

Passo 5

Voltemos para S^2. Substituindo o resultado obtido:
S^2 = 2a + 2\sqrt{\,a^2-k^2\,} = 2a + 2\sqrt{\frac{(1-2a)^3}{27}}.
Avalie a raiz: para 1-2a\ge 0 (isto é, a\le \tfrac{1}{2}) temos
\sqrt{\frac{(1-2a)^3}{27}} = \frac{(1-2a)^{3/2}}{\sqrt{27}} = \frac{(1-2a)^{3/2}}{3\sqrt{3}}.
Logo, para \tfrac{1}{8}<a\le \tfrac{1}{2} (intervalo em que todas as quantidades sob as raízes são reais e as raízes exteriores também ficam reais),
S^2 = 2a + \frac{2(1-2a)^{3/2}}{3\sqrt{3}}.
Assim
S = \sqrt{\,2a + \frac{2(1-2a)^{3/2}}{3\sqrt{3}}\,},
tomando a raiz positiva porque S é soma de raízes quadradas não negativas.

Passo 6

Interpretação final e verificação com exemplos numéricos simples para ganhar intuição:
  • A expressão simplificada acima mostra que S depende de a de forma não trivial; não é uma constante independente de a.
  • Verificação numérica rápida:
    • Para a=\tfrac{1}{2}: temos (1-2a)=0, então S^2=2\cdot\tfrac{1}{2}=1, logo S=1. Isto coincide com a alternativa (a) apenas para a=\tfrac{1}{2}.
    • Para a=0{,}2: calculando diretamente dá S\approx 0{,}7609, diferente de 1,2,4,8 e diferente de \tfrac{2}{3}a.
  • Conclusão prática: a soma não é uma das constantes (a)-(d) nem igual a \tfrac{2}{3}a para todo a>\tfrac{1}{8}. Ela depende de a e só coincide com algumas alternativas em valores isolados de a (por exemplo S=1 apenas quando a=\tfrac{1}{2}).

Resposta

\displaystyle \sqrt{\,2a+\frac{2(1-2a)^{3/2}}{3\sqrt{3}}\,} (a expressão depende de a; não é igual a nenhuma das alternativas (a)–(e) para todo a>\tfrac{1}{8}; por exemplo, só se torna 1 no caso a=\tfrac{1}{2}.)

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