Se a é um número real maior que
, o valor de
éigual a: (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8 (e) (2/3)a
Passo 1
O enunciado dá o número real
com a condição
e pede o valor da expressão
As alternativas oferecidas são: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
, (e)
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A raiz interna
é real graças à hipótese . - Precisamos avaliar a soma de duas raízes quadradas com termos simétricos
. - Não há outras condições fornecidas (por exemplo, restrição adicional para que ambas as radicais exteriores sejam reais); deixamos isso explícito para tratar depois.
Passo 2
Vamos nomear as quantidades para trabalhar de forma organizada. Defina
A expressão buscada é
Método: uma técnica padrão para somas de raízes quadradas é calcular
, porque
Esta identidade é simplesmente a expansão de um quadrado:
, com
,
. Vamos usar isso passo a passo.
Passo 3
Calcule
e
:
Portanto
Agora precisamos calcular
explicitamente em termos de
. Lembre que
então
Passo 4
Calcule
com atenção aos detalhes (vou expandir os polinômios passo a passo):
Expanda
. Primeiro
. Multiplicando por
:
Substituindo:
Observe que o polinômio do lado direito é o negativo de um cubo perfeito:
E
Portanto
e assim
Como
, escrevemos de forma mais conveniente (para a raiz real quando
):
Passo 5
Voltemos para
. Substituindo o resultado obtido:
Avalie a raiz: para
(isto é,
) temos
Logo, para
(intervalo em que todas as quantidades sob as raízes são reais e as raízes exteriores também ficam reais),
Assim
tomando a raiz positiva porque
é soma de raízes quadradas não negativas.
Passo 6
Interpretação final e verificação com exemplos numéricos simples para ganhar intuição:
- A expressão simplificada acima mostra que
depende de de forma não trivial; não é uma constante independente de . - Verificação numérica rápida:
- Para
: temos , então , logo . Isto coincide com a alternativa (a) apenas para . - Para
: calculando diretamente dá , diferente de e diferente de .
- Para
- Conclusão prática: a soma não é uma das constantes (a)-(d) nem igual a
para todo . Ela depende de e só coincide com algumas alternativas em valores isolados de (por exemplo apenas quando ).