Lembrete: \int x \cos (n x) d x=\frac{x}{n} \sin (n x)+\frac{1}{n^{2}} \cos (n x).
Passo 1
Enunciado e o que se pede (resumido e claro):
Função periódica de período 2\pi\), definida em \((-\pi,\pi)\) por
\[g(x)=|x|=\begin{cases} -x, & \text{se } -\pi\le x<0,\\[4pt] x, & \text{se } 0\le x<\pi. \end{cases}
Pedidos:
a) Esboçar o gráfico de g\] e dizer se é par ou ímpar, com justificativa.
b) Encontrar os coeficientes de Fourier de \(g.
c) Escrever a série de Fourier de g.
d) Usar a série do item (c) em x=0 para mostrar que\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.
Esboço do gráfico e verificação de paridade (item a).
Como g(x)=|x|, no intervalo [-\pi,\pi] o gráfico é a forma de V com vértice em x=0: na parte negativa a reta tem equação g(x)=-x (declive +1 quando vista conforme eixo), na parte positiva g(x)=x. Ao repetir periodicamente com período 2\pi obtemos cópias desse V deslocadas.
Justificativa da paridade: verificar se g(-x)=g(x) ou g(-x)=-g(x).g(-x)=|{-x}|=|x|=g(x),logo g é uma função par. (Portanto o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.)
Passo 3
Consequências práticas da paridade para a série de Fourier (preparação para o item b).
Para uma função periódica de período 2\pi, as fórmulas dos coeficientes são as do Passo 1.
Se g é par então:
o produto g(x)\sin(nx) é par×ímpar = função ímpar, logo
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\sin(nx)\,dx=0\quad\text{para todo }n,porque integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.
o produto g(x)\cos(nx) é par×par = função par, então
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}g(x)\cos(nx)\,dx,ou seja, podemos reduzir integrais de -\pi a \pi para 2 vezes a integral de 0 a \pi.
Portanto vamos calcular a_0 e a_n usando a simetria e teremos b_n=0.
Como g é par e \sin(nx) é função ímpar, o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar num intervalo simétrico é zero. Portantob_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Passo 6
Cálculo de a_n usando a primitiva dada (passo a passo).
Começamos com a definição e usamos simetria:a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\cos(nx)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.(Aqui usei que em [0,\pi]g(x)=x.)
Usamos a primitiva dada:\int x\cos(nx)\,dx=\frac{x}{n}\sin(nx)+\frac{1}{n^2}\cos(nx)+C.
Avaliando de 0 a \pi:\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=\left[\frac{x}{n}\sin(nx)+\frac{1}{n^2}\cos(nx)\right]_{0}^{\pi}.
Se n é par, então (-1)^n=1 e (-1)^n-1=0, logo a_n=0.
Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e (-1)^n-1=-2, logoa_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{-2}{n^2}=-\frac{4}{\pi n^2}\quad\text{(para \(n\) ímpar).}í
Resumo dos coeficientes:a_0=\pi,\qquad a_n=\begin{cases} 0, & \text{se } n \text{ é par},\\[4pt] -\dfrac{4}{\pi n^2}, & \text{se } n \text{ é ímpar}, \end{cases} \qquad b_n=0\\ \text{para todo }n.ééí]
Passo 7
Escrevendo a série de Fourier (item c), juntando tudo.
A forma geral ég(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx),pois b_n=0.
Substituindo a_0=\pi e os a_n não nulos apenas para índices ímpares n=2k-1, com k=1,2,\dots, obtemosg(x)=\frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{4}{\pi(2k-1)^2}\right)\cos\bigl((2k-1)x\bigr).
Colocando o sinal negativo na frente da soma,g(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^2}.
Passo 8
Usando a série em x=0 para obter a soma pedida (item d).
Avalie g(0). Pela definição g(0)=|0|=0.
Avaliando a série em x=0:g(0)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)\cdot 0\bigr)}{(2k-1)^2}.
Como \cos(0)=1, isso vira0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}.
Resolva para a soma S=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k-1)^2}:\frac{4}{\pi}S=\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad S=\frac{\pi^2}{8}.
Assim está demonstrado o resultado pedido:\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.
Resposta
a) Gráfico: V com vértice em 0\) (reta \(g(x)=-x\) para \(-\pi\le x<0\) e reta \(g(x)=x\) para \(0\le x<\pi\)), repetido periodicamente de período \(2\pi\). A função é par, pois \(g(-x)=g(x)\).\n
b) Coeficientes:\n
\(\displaystyle a_0=\pi,\)\quad \(\displaystyle a_n=\begin{cases}0,&\text{se }n\text{ é par},\\[4pt]-\dfrac{4}{\pi n^2},&\text{se }n\text{ é ímpar},\end{cases}\quad \displaystyle b_n=0 para todo n.\n
c) Série de Fourier:\n \displaystyle g(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^2}.\n
d) \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.]