Um número é tal que seu logaritmo é 4 na base p e 8 na base \frac{p}{3}. Calcule esse número.

Passo 1

O enunciado diz que existe um número x tal que
\log_{p}(x)=4
e
\log_{\frac{p}{3}}(x)=8.
O conteúdo aqui é a definição de logaritmo:
\log_{a}(b)=c\quad\Longleftrightarrow\quad b=a^{c}.

Passo 2

Pela definição de logaritmo temos
x = p^{4}
e também
x = \Bigl(\tfrac{p}{3}\Bigr)^{8}.

Passo 3

Igualando as duas expressões para x:
p^{4} = \Bigl(\tfrac{p}{3}\Bigr)^{8} = \frac{p^{8}}{3^{8}}.
Multiplicando ambos os lados por 3^{8} e dividindo por p^{4}, obtemos
p^{4} = 3^{8}.

Passo 4

Para achar p, tiramos a raiz quarta em ambos os lados:
p = \sqrt[4]{3^{8}} = 3^{2} = 9.

Passo 5

Finalmente, como x = p^{4}, temos
x = 9^{4} = 6561.

Resposta

O número procurado é 6561.

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