Um objeto é lançado de um ponto A em uma rampa inclinada sem atrito. O objeto desliza ao longo da rampa e atinge um ponto B , que está a uma altura h acima do ponto de partida. Determine a velocidade do objeto no ponto B, considerando a conservaçāo de energia mecânica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um objeto que é lançado de um ponto A numa rampa sem atrito e chega no ponto B, que está a uma altura $ h $ acima de A. O que precisamos descobrir é qual é a velocidade do objeto em B usando a conservação da energia mecânica. Isso envolve entender energia cinética e potencial e como elas se transformam quando não tem atrito atrapalhando.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é energia mecânica. A energia mecânica total de um sistema é a soma da energia cinética ($ E_k Ek E_p $). A energia cinética é a energia que o objeto tem por estar em movimento, e a energia potencial é a energia que o objeto tem por estar em uma certa posição, como na altura $ h $.

Passo 3

A conservação da energia mecânica diz que, na ausência de atrito (como no nosso caso), a energia mecânica total no ponto A é igual à energia mecânica total no ponto B. Ou seja:
EmA = EmB

Passo 4

Vamos expressar as energias nos pontos A e B. No ponto A, supondo que o objeto parte do repouso, toda a energia mecânica é potencial. No ponto B, o objeto tem energia cinética e potencial. Então:
EmA = EpA = m cdot g cdot hA
EmB = EkB + EpB = 12 m vB^2 + m cdot g cdot hB

Passo 5

Como a altura no ponto A pode ser considerada zero (pois $ h_B = h $), simplificamos:
hB = h
EmA = 0

Passo 6

Aplicando a conservação da energia:
EmA = EmB Rightarrow 0 = 12 m vB^2 + m cdot g cdot h
Mas isso indicaria que o objeto não tem energia cinética, o que não faz sentido. Parece que houve um equívoco na altura inicial. Vamos assumir que o objeto tem uma certa velocidade inicial $ v_A $.

Passo 7

Se o objeto tem velocidade $ v_A $ no ponto A, então:
vA
E no ponto B:
EmA = 12 m vA^2
Aplicando a conservação:
EmB = 12 m vB^2 + m cdot g cdot h

Passo 8

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ m $:
m

Passo 9

Vamos isolar $ v_B^2 $:
vB^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
12 vB^2 = 12 vA^2 - g cdot h

Passo 10

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v_B $:
vB

Resposta

A velocidade do objeto no ponto B é:
vB = raizvA^2 - 2 g h

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