Um pêndulo simples é composto por uma massa mi suspensa em uma corda de comprimento L. Determine a velocídade máxima da massa no ponto mais baixo de sua trajetória, considerando a conversāo de energia potencial gravitacional cm energia cinćtica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples, que é basicamente uma massa $ m_i $ pendurada em uma corda de comprimento $ L $. A pergunta quer saber qual é a velocidade máxima dessa massa quando ela está no ponto mais baixo do seu movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, além da conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. Energia Potencial Gravitacional (EP) é a energia que um objeto tem por estar em uma certa altura. No caso do pêndulo, quando a massa está levantada, ela tem mais EP. A fórmula para isso é:
onde:
- $ m_i $ é a massa,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura.
Energia Cinética (EC) é a energia do movimento. Quando a massa começa a descer, a energia potencial vai se transformando em energia cinética. A fórmula da energia cinética é:
onde $ v $ é a velocidade.
Passo 3
Agora, vamos usar a conservação de energia, que diz que a energia total do sistema permanece a mesma se não houver perdas. Isso significa que toda a energia potencial no ponto mais alto se transforma em energia cinética no ponto mais baixo. Então, podemos igualar as duas fórmulas:
Percebemos que a massa $ m_i $ aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
Passo 4
Vamos isolar $ v_{max} $ para encontrar a velocidade máxima:
Agora, precisamos expressar a altura $ h $ em termos do comprimento da corda $ L $. Quando o pêndulo está no ponto mais alto, a altura $ h $ é igual a $ L $ menos a projeção do comprimento na vertical, que é $ L \cdot \cos(\theta) $, onde $ \theta $ é o ângulo inicial. Então:
Substituindo isso na equação da velocidade:
Resposta
A velocidade máxima da massa no ponto mais baixo é: