Um pêndulo simples é composto por uma massa mi suspensa em uma corda de comprimento L. Determine a velocídade máxima da massa no ponto mais baixo de sua trajetória, considerando a conversāo de energia potencial gravitacional cm energia cinćtica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples, que é basicamente uma massa $ m_i $ pendurada em uma corda de comprimento $ L $. A pergunta quer saber qual é a velocidade máxima dessa massa quando ela está no ponto mais baixo do seu movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, além da conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. Energia Potencial Gravitacional (EP) é a energia que um objeto tem por estar em uma certa altura. No caso do pêndulo, quando a massa está levantada, ela tem mais EP. A fórmula para isso é:
EP = mi cdot g cdot h
onde:
  • $ m_i $ é a massa,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura.
Energia Cinética (EC) é a energia do movimento. Quando a massa começa a descer, a energia potencial vai se transformando em energia cinética. A fórmula da energia cinética é:
mi
onde $ v $ é a velocidade.

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação de energia, que diz que a energia total do sistema permanece a mesma se não houver perdas. Isso significa que toda a energia potencial no ponto mais alto se transforma em energia cinética no ponto mais baixo. Então, podemos igualar as duas fórmulas:
mi cdot g cdot h = 12 mi cdot vmax^2
Percebemos que a massa $ m_i $ aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
mi

Passo 4

Vamos isolar $ v_{max} $ para encontrar a velocidade máxima:
vmax
vmax^2 = 2 cdot g cdot h
Agora, precisamos expressar a altura $ h $ em termos do comprimento da corda $ L $. Quando o pêndulo está no ponto mais alto, a altura $ h $ é igual a $ L $ menos a projeção do comprimento na vertical, que é $ L \cdot \cos(\theta) $, onde $ \theta $ é o ângulo inicial. Então:
vmax = raiz2 cdot g cdot h
Substituindo isso na equação da velocidade:
h

Resposta

A velocidade máxima da massa no ponto mais baixo é:
vmax = raiz2 cdot g cdot L cdot (1 - cos(theta))

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