Um objeto se move ao longo de uma curva C de parametrização r(t)=(-1+3 \cos t) i+(2+2 \operatorname{sen} t) j, t \in[0,2 \pi].
(a) Determine a equação cartesiana de C.
(b) Determine a velocidade e a aceleração desse objeto no instante t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
r(t)=(-1+3\cos t)\,\mathbf i+(2+2\sin t)\,\mathbf j,\quad t\in[0,2\pi],
e pede: (a) a equação cartesiana da curva C e (b) a velocidade \mathbf v e a aceleração \mathbf a no instante t=\pi.
Para (a) vamos eliminar o parâmetro t usando identidades trigonométricas. Para (b) vamos derivar r(t) para obter \mathbf v(t) e \mathbf a(t) e depois substituir t=\pi.

Passo 2

Chamando
x=-1+3\cos t,\quad y=2+2\sin t,
temos
\cos t=\frac{x+1}{3},\qquad \sin t=\frac{y-2}{2}.
Como \cos^2t+\sin^2t=1, segue
\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1,
que é a equação cartesiana de C.

Passo 3

Primeiro encontramos as derivadas:
\mathbf v(t)=r'(t)=(-3\sin t)\,\mathbf i+(2\cos t)\,\mathbf j,
\mathbf a(t)=r''(t)=(-3\cos t)\,\mathbf i+(-2\sin t)\,\mathbf j.
Em t=\pi temos \sin\pi=0 e \cos\pi=-1, logo
\mathbf v(\pi)=( -3\cdot0)\,\mathbf i+(2\cdot(-1))\,\mathbf j=(0,\,-2),
\mathbf a(\pi)=(-3\cdot(-1))\,\mathbf i+(-2\cdot0)\,\mathbf j=(3,\,0).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1.
(b) \mathbf v(\pi)=(0,\,-2),\quad \mathbf a(\pi)=(3,\,0).

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