Seja C uma curva de parametrização r(t)=(a(t-\operatorname{sen} t), a(1-\cos t)), t \in[0,2 \pi].
(a) Sabendo-se que a reta tangente a uma curva de parametrização r(t) no instante t_{0} é dada por X(t)=r\left(t_{0}\right)+\operatorname{tr}^{\prime}\left(t_{0}\right), determine a reta tangente à curva C acima no ponto (2 a \pi, 0),
(b) Reparametrize C pelo comprimento de arco.
e pede:
(a) a reta tangente em (2a\pi,0),
(b) a reparametrização pelo comprimento de arco.
Para (a) vamos precisar resolver r(t_0)=(2a\pi,0) e estudar r'(t). Para (b) usaremos a fórmula
quando t\to2\pi^-. Escrevendo t=2\pi-\varepsilon e expandindo para \varepsilon\to0^+ mostra-se que \frac{dy}{dx}\to\pm\infty. Portanto a reta tangente é vertical.
Passo 4
Concluo que a reta tangente em (2a\pi,0) é
x=2a\pi.
Passo 5
(b) Primeiro obtenho o comprimento de arco desde 0 até t: