Seja C uma curva de parametrização r(t)=(a(t-\operatorname{sen} t), a(1-\cos t)), t \in[0,2 \pi].
(a) Sabendo-se que a reta tangente a uma curva de parametrização r(t) no instante t_{0} é dada por X(t)= r\left(t_{0}\right)+\operatorname{tr}^{\prime}\left(t_{0}\right), determine a reta tangente à curva C acima no ponto (2 a \pi, 0),
(b) Reparametrize C pelo comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado define a curva
r(t)=\bigl(a\bigl(t-\operatorname{sen} t\bigr),\,a\bigl(1-\cos t\bigr)\bigr), \quad t\in[0,2\pi]
e pede:
(a) a reta tangente em (2a\pi,0),
(b) a reparametrização pelo comprimento de arco.
Para (a) vamos precisar resolver r(t_0)=(2a\pi,0) e estudar r'(t). Para (b) usaremos a fórmula
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\lvert r'(u)\bigr\rvert\,du
e depois inverter essa relação para obter t(s).

Passo 2

(a) Determino t_0 tal que
a\bigl(t_0-\operatorname{sen} t_0\bigr)=2a\pi, \quad a\bigl(1-\cos t_0\bigr)=0.
Da segunda igualdade vem 1-\cos t_0=0\implies\cos t_0=1\implies t_0=2\pi. Verifico na primeira:
t_0-\operatorname{sen} t_0=2\pi-\operatorname{sen}(2\pi)=2\pi,
logo t_0=2\pi de fato.

Passo 3

Calculo a derivada
r'(t)=\bigl(a(1-\cos t),\,a\operatorname{sen} t\bigr).
Em t_0=2\pi obtém-se r'(2\pi)=(0,0), ou seja, há um cusp. Para achar a direção da reta tangente, analiso a razão
\frac{dy}{dx} =\frac{a\operatorname{sen} t}{a(1-\cos t)} =\frac{\operatorname{sen} t}{1-\cos t}
quando t\to2\pi^-. Escrevendo t=2\pi-\varepsilon e expandindo para \varepsilon\to0^+ mostra-se que \frac{dy}{dx}\to\pm\infty. Portanto a reta tangente é vertical.

Passo 4

Concluo que a reta tangente em (2a\pi,0) é
x=2a\pi.

Passo 5

(b) Primeiro obtenho o comprimento de arco desde 0 até t:
\bigl\lvert r'(t)\bigr\rvert = a\sqrt{(1-\cos t)^2+(\operatorname{sen} t)^2} = a\sqrt{2-2\cos t} =2a\operatorname{sen}\bigl(\tfrac t2\bigr),
pois em [0,2\pi] tem-se \operatorname{sen}(t/2)\ge0. Então
s(t)=\int_{0}^{t}2a\operatorname{sen}\bigl(\tfrac u2\bigr)\,du =4a\bigl(1-\cos\tfrac t2\bigr).

Passo 6

Inverto s=4a\bigl(1-\cos(t/2)\bigr). Temos
\cos\!\bigl(\tfrac t2\bigr)=1-\frac s{4a},
logo defino
\varphi(s)=\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac s{4a}\Bigr), \quad t(s)=2\varphi(s).
Assim a reparametrização por comprimento de arco é
r(s) =\bigl(a(t(s)-\operatorname{sen} t(s)),\,a(1-\cos t(s))\bigr), \quad s\in[0,8a].
Em forma mais compacta, usando \varphi=\varphi(s),
r(s) =\bigl(2a(\varphi-\operatorname{sen}\varphi\cos\varphi),\;2a\operatorname{sen}^2\varphi\bigr), \quad \varphi=\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac s{4a}\Bigr).

Resposta

(a) A reta tangente em (2a\pi,0) é o vertical
x=2a\pi.
(b) Se s é o comprimento de arco desde t=0, então
s=4a\bigl(1-\cos\tfrac t2\bigr), \qquad t=2\operatorname{arccos}\bigl(1-\tfrac s{4a}\bigr),
e a curva reparametrizada é
r(s) =\Bigl(a\bigl(t(s)-\operatorname{sen} t(s)\bigr),\;a\bigl(1-\cos t(s)\bigr)\Bigr), \quad s\in[0,8a],
ou equivalentemente
r(s) =\bigl(2a(\varphi-\operatorname{sen}\varphi\cos\varphi),\;2a\operatorname{sen}^2\varphi\bigr), \quad \varphi=\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac s{4a}\Bigr).

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