Um objeto parte da origem em t=0 com velocidade v0=(8 j) m / s e se desloca no plano x y com aceleração constante a=(4 i+2 j) m / s^2. No instante de tempo em que a coordenada x da partícula for 50 m , determine:
(a) A coordenada y do objeto.
(b) O módulo da velocidade do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Aqui a gente tem um objeto que começa na origem com uma velocidade inicial só na direção (representada por m/s) e aceleração constante tanto em quanto em ( m/s² ). A gente precisa descobrir, no instante em que a coordenada for 50 metros:
(a) Qual é a coordenada do objeto.
(b) Qual é o módulo da velocidade do objeto.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante nas duas direções separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o tempo que o objeto leva para atingir x(t) = x0 + v0x t + 12 ax t^2 metros. A posição em 50 = 0 + 0 cdot t + 12 cdot 4 cdot t^2 Rightarrow 50 = 2 t^2 pode ser calculada usando a fórmula:
t^2 = 502 = 25 Rightarrow t = 5 segundos
Como o objeto parte da origem, , e a velocidade inicial em é (já que só tem velocidade inicial em ). Então a equação fica:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que sabemos que o tempo é 5 segundos, vamos achar a coordenada y(t) = y0 + v0y t + 12 ay t^2 nesse instante. A posição em y(5) = 0 + 8 cdot 5 + 12 cdot 2 cdot 5^2 = 40 + 25 = 65 metros é dada por:
Sabendo que , m/s e m/s², substituímos:

Passo 4

Para encontrar o módulo da velocidade no instante de 5 segundos, precisamos das componentes da velocidade em vx(t) = v0x + ax t e vy(t) = v0y + ay t nesse tempo. As velocidades são dadas por:
vx(5) = 0 + 4 cdot 5 = 20 m/s
vy(5) = 8 + 2 cdot 5 = 18 m/s
Como |v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz20^2 + 18^2 = raiz400 + 324 = raiz724 approx 26,92 m/s :
Agora, o módulo da velocidade é:

Resposta

(a) A coordenada do objeto é 65 metros.
(b) O módulo da velocidade do objeto é aproximadamente 26,92 m/s.

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