Observação 1
Dado um vetor \vec{v} e um ponto qualquer C, existe um único ponto D tal que \vec{v}=\overrightarrow{C D}. Isto é, qualquer ponto do plano é origem de um único
segmento orientado representante do vetor \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Um vetor \vec{v} qualquer (um vetor livre, isto é, definido apenas por direção, sentido e módulo).
  • Um ponto qualquer C do plano.
O que se pede (explicitamente): mostrar que existe um único ponto D tal que
\vec{v}=\overrightarrow{C D}.

Passo 2

Antes de partir para a prova formal, vamos alinhar conceitos com calma.
  • Um vetor livre \vec{v} pode ser representado por um par de números (as suas componentes) se escolhermos um sistema de coordenadas. Essas componentes medem quanto o vetor desloca na direção x e na direção y.
  • A notação \overrightarrow{C D} significa "o vetor que vai de C até D"; em coordenadas, se C=(x_0,y_0) e D=(x_1,y_1), então
\overrightarrow{C D} = (x_1-x_0,\;y_1-y_0).
Isto é simplesmente a diferença entre as coordenadas do extremo e as do ponto inicial.

Passo 3

Prova de existência (construtiva) em coordenadas.
  • Escreva C em coordenadas como C=(x_0,y_0).
  • Escreva \vec{v} pelas suas componentes como \vec{v}=(a,b).
    Agora construa o ponto D definindo as suas coordenadas por soma componente a componente:
D=(x_0+a,\;y_0+b).
Vamos verificar que isso funciona:
\overrightarrow{C D}=(x_0+a-x_0,\;y_0+b-y_0)=(a,b)=\vec{v}.
Portanto, ao definir D dessa forma, obtemos \overrightarrow{C D}=\vec{v}. Isso prova a existência: podemos sempre formar D adicionando as componentes de \vec{v} às coordenadas de C.

Passo 4

Prova de existência (construtiva) geométrica, sem coordenadas — modo que costuma cair na prova.
  • Imagine deslocar (transladar) o segmento orientado que representa \vec{v} de modo paralelo até que a cauda do segmento coincida com o ponto C.
  • O ponto onde a cabeça (extremo) do segmento cair é exatamente o ponto D.
    Essa é a construção usual: "colocar a cauda em C" determina um único extremo, porque comprimento, direção e sentido do vetor fixam onde a cabeça chega.

Passo 5

Prova de unicidade.
Suponha que existam dois pontos D e D' tais que
\overrightarrow{C D}=\vec{v} \quad\text{e}\quad \overrightarrow{C D'}=\vec{v}.
Então subtraindo as duas igualdades (ousadamente usando a álgebra vetorial) obtemos
\overrightarrow{C D'}-\overrightarrow{C D}=\vec{0}.
Mas por propriedades das diferenças de vetores isso é
\overrightarrow{D D'}=\vec{0}.
O vetor nulo \vec{0} representa “nenhum deslocamento”: se \overrightarrow{D D'}=\vec{0} então o ponto final coincide com o ponto inicial, ou seja, D'=D. Logo não podem existir dois pontos distintos que gerem o mesmo vetor partindo de C. Assim a escolha de D é única.

Passo 6

Prova de unicidade em coordenadas (para quem prefere contas com números).
  • Suponha D=(x_1,y_1) e D'=(x_2,y_2) satisfazendo \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{C D'}=\vec{v}=(a,b).
  • Então
(x_1-x_0,y_1-y_0)=(a,b)=(x_2-x_0,y_2-y_0).
Isto implica x_1-x_0=x_2-x_0 e y_1-y_0=y_2-y_0, portanto x_1=x_2 e y_1=y_2. Então D=D'. Mesma conclusão, via cálculo de componentes.

Passo 7

Como aplicar isso rápido numa prova (receita prática e infalível).
  • Se te derem C e \vec{v} em componentes: some componente a componente para achar D. Ex.: se C=(x_0,y_0) e \vec{v}=(a,b) então
D=(x_0+a,\;y_0+b).
  • Se derem um vetor desenhado (direção, sentido e comprimento) e um ponto C: traduza o vetor paralelamente até a cauda em C — o extremo será D. Não tem mistério nem ambiguidade.

Passo 8

Exemplo numérico curtinho (para fixar).
  • Seja C=(2,3) e \vec{v}=(1,-4).
  • Então
D=(2+1,\;3-4)=(3,\,-1).
Verificação: \overrightarrow{C D}=(3-2,\,-1-3)=(1,-4)=\vec{v}. Fácil e direto.

Passo 9

Intuição final e moral (pega leve: é simples!).
  • A ideia é que vetor livre só diz “quanto e em que direção deslocar”; se fixamos onde começa esse deslocamento (o ponto C), então o lugar onde termina é fixo — não sobra liberdade. Por isso existe exatamente um ponto D.

Resposta

Existe um único ponto D tal que \vec{v}=\overrightarrow{C D}; em coordenadas, se C=(x_0,y_0) e \vec{v}=(a,b) então
D=(x_0+a,\;y_0+b).

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