Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por y=3 x, y=0 e x=2 em torno do eixo y;

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=3x, y=0 e x=2 em torno do eixo y.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • As curvas que limitam a região são y=3x (reta), y=0 (eixo x) e x=2 (reta vertical).
  • Os vértices da região podem ser encontrados nas interseções:
    • y=3x com y=0 em (0,0).
    • x=2 com y=0 em (2,0).
    • x=2 com y=3x em (2,6) (porque y=3\cdot2=6).
  • A região é um triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,6).
  • O sólido é obtido ao girar esse triângulo em torno do eixo y.
  • O que se pede é o volume desse sólido.

Passo 2

Descrever a região de forma conveniente para integrar:
  • Se paramos por x: para cada x com 0\le x\le2, o y varia de 0 até 3x. Ou seja, 0\le x\le2,\qquad 0\le y\le 3x.
  • Se paramos por y: para cada y com 0\le y\le6, o x varia da reta x=\dfrac{y}{3} até x=2. Ou seja, 0\le y\le6,\qquad \frac{y}{3}\le x\le 2.
Essa segunda descrição será útil porque o eixo de rotação é o eixo y.

Passo 3

Escolha do método e explicação didática:
  • Dois métodos comuns para sólidos de revolução:
    1. Método dos discos/arruelas (washers): suficiente quando se corta o sólido por planos perpendiculares ao eixo de rotação. A seção transversal é um disco ou uma arruela. A fórmula elementar é que um elemento de volume é a área da seção transversal vezes a espessura.
      • Se giramos em torno do eixo y, as seções transversais perpendiculares a esse eixo (planos horizontais para cada y) têm área A(y)=\pi\big(R_{\text{externo}}(y)^2-R_{\text{interno}}(y)^2\big),onde R_{\text{externo}}(y) é a distância máxima da seção ao eixo y e R_{\text{interno}}(y) é a distância mínima (se houver um furo).
      • O volume é V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} A(y)\,dy.
    2. Método das cascas cilíndricas (shells): conveniente quando se cortam tiras verticais paralelas ao eixo que será rotacionado. Um elemento de espessura dx tem volume aproximado dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dx,isto é dV=2\pi x\cdot(\text{altura})\,dx quando se gira em torno do eixo y.
  • Aqui vou usar o método dos discos/arruelas porque, visto por y, a região produz uma arruela com raio externo constante 2 e raio interno dado por x=\dfrac{y}{3}. É um cálculo direto. Depois faço a verificação pelo método das cascas para conferência.

Passo 4

Aplicando o método dos discos/arruelas:
  • Para um dado y\in[0,6], a seção horizontal da região vai de x=\dfrac{y}{3} até x=2. Ao girar em torno do eixo y:
    • o raio externo da arruela é R_{\text{ext}}(y)=2 (distância do eixo y até x=2);
    • o raio interno da arruela é R_{\text{int}}(y)=\dfrac{y}{3} (distância do eixo y até a curva x=\dfrac{y}{3}).
  • Logo a área da seção em altura y é A(y)=\pi\Big(2^2-\Big(\frac{y}{3}\Big)^2\Big)=\pi\Big(4-\frac{y^2}{9}\Big).
  • O volume é então V=\int_{0}^{6} A(y)\,dy=\int_{0}^{6}\pi\Big(4-\frac{y^2}{9}\Big)\,dy.

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo:
  • Factorizando a constante \pi: V=\pi\int_{0}^{6}\Big(4-\frac{y^2}{9}\Big)\,dy.
  • Integramos termo a termo: \int_{0}^{6}4\,dy = 4y\Big|_{0}^{6}=4\cdot6-4\cdot0=24,
\int_{0}^{6}\frac{y^2}{9}\,dy=\frac{1}{9}\int_{0}^{6}y^2\,dy=\frac{1}{9}\cdot\frac{y^3}{3}\Big|_{0}^{6}=\frac{1}{27}\cdot 6^3=\frac{216}{27}=8.
  • Substituindo: V=\pi\big(24-8\big)=\pi\cdot 16=16\pi.

Passo 6

Verificação rápida pelo método das cascas (checagem):
  • Com cascas: para x de 0 a 2, a altura da casca é a extensão em y, que é 3x-0=3x; o raio é x. Então dV=2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx=2\pi x\cdot 3x\,dx=6\pi x^2\,dx.
  • Integrando: V=\int_{0}^{2}6\pi x^2\,dx=6\pi\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{2}=2\pi\cdot 2^3=2\pi\cdot 8=16\pi,
o mesmo resultado. Bom sinal — cálculo consistente.

Resposta

16\pi

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