Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por
e
em torno do eixo
;
Obtido com a rotação da região limitada por
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
e
em torno do eixo
.
Informações fornecidas e observações imediatas:
- As curvas que limitam a região são
(reta), (eixo ) e (reta vertical). - Os vértices da região podem ser encontrados nas interseções:
-
com em . -
com em . -
com em (porque ).
-
- A região é um triângulo com vértices
, e . - O sólido é obtido ao girar esse triângulo em torno do eixo
. - O que se pede é o volume desse sólido.
Passo 2
Descrever a região de forma conveniente para integrar:
- Se paramos por
: para cada com , o varia de até . Ou seja, - Se paramos por
: para cada com , o varia da reta até . Ou seja,
Essa segunda descrição será útil porque o eixo de rotação é o eixo
.
Passo 3
Escolha do método e explicação didática:
- Dois métodos comuns para sólidos de revolução:
- Método dos discos/arruelas (washers): suficiente quando se corta o sólido por planos perpendiculares ao eixo de rotação. A seção transversal é um disco ou uma arruela. A fórmula elementar é que um elemento de volume é a área da seção transversal vezes a espessura.
- Se giramos em torno do eixo
, as seções transversais perpendiculares a esse eixo (planos horizontais para cada ) têm área onde é a distância máxima da seção ao eixo e é a distância mínima (se houver um furo). - O volume é
- Se giramos em torno do eixo
- Método das cascas cilíndricas (shells): conveniente quando se cortam tiras verticais paralelas ao eixo que será rotacionado. Um elemento de espessura
tem volume aproximado isto é quando se gira em torno do eixo .
- Método dos discos/arruelas (washers): suficiente quando se corta o sólido por planos perpendiculares ao eixo de rotação. A seção transversal é um disco ou uma arruela. A fórmula elementar é que um elemento de volume é a área da seção transversal vezes a espessura.
- Aqui vou usar o método dos discos/arruelas porque, visto por
, a região produz uma arruela com raio externo constante e raio interno dado por . É um cálculo direto. Depois faço a verificação pelo método das cascas para conferência.
Passo 4
Aplicando o método dos discos/arruelas:
- Para um dado
, a seção horizontal da região vai de até . Ao girar em torno do eixo : - o raio externo da arruela é
(distância do eixo até ); - o raio interno da arruela é
(distância do eixo até a curva ).
- o raio externo da arruela é
- Logo a área da seção em altura
é - O volume é então
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo:
- Factorizando a constante
: - Integramos termo a termo:
- Substituindo:
Passo 6
Verificação rápida pelo método das cascas (checagem):
- Com cascas: para
de a , a altura da casca é a extensão em , que é ; o raio é . Então - Integrando:
o mesmo resultado. Bom sinal — cálculo consistente.