Observações feitas por botânicos suportam a tese que a razão de sobrevivência de seedlings nas vizinhanças de uma árvore mãe é proporcional ao produto da densidade de sementes no chão e sua probabilidade de sobrevivência de ser comido por herbívoros. A densidade de herbívoros tende a decrescer à medida que a distância da árvore mãe aumenta já que a densidade de comida decresce. Seja x a distância em metros do tronco da
árvore mãe. Os resultados de amostragem indicam que a densidade de sementes no chão para 0 \leq x \leq 10 é dado por d(x)=\frac{1}{1+(0,2 x)^{2}} e a probabilidade de sobrevivência de não ser comido por herbívoros é p(x)=0,1 x.
Para que distância a razão de sobrevivência é máxima?
Seja RS: razão de sobrevivência
R S=k d(x) p(x)=k \frac{1}{1+(0.2 x)^{2}} 0.1 x=f(x), k constante de proporcionalidade
Procurando os pontos críticos de f(x) :
\begin{gathered} f^{\prime}(x)=\frac{0.1 k\left(1+(0.2 x)^{2}\right)-k 0.1 x 2(0.2 x) 0.2}{\left(1+(0.2 x)^{2}\right)^{2}}=0 \\\\ 0.1+4 * 10^{-3} x^{2}-8 * 10^{-3} x^{2}=0 \\\ x^{2}=\frac{100}{4} \Rightarrow x= \pm 5 \end{gathered}
Сото 0 \leq x \leq 10 \Rightarrow x=5 \mathrm{~m}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos maximizar a razão de sobrevivência que é proporcional a
f(x)=k\,d(x)\,p(x)
no intervalo 0 \le x \le 10, onde
d(x)=\frac{1}{1+(0,2x)^{2}}, \quad p(x)=0,1x
e k>0 é constante. Como k é positivo, o ponto de máximo de f é o mesmo do fator
g(x)=\frac{0,1\,x}{1+0,04\,x^{2}}.

Passo 2

Para achar o máximo de g(x), calculamos sua derivada usando a regra do quociente
g(x)=\frac{0,1\,x}{1+0,04x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad g'(x) =\frac{0,1\bigl(1+0,04x^{2}\bigr)-0,1x\cdot(0,08x)}{\bigl(1+0,04x^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Simplificando o numerador de g'(x), temos
\text{num} = 0,1 + 0,004x^{2} - 0,008x^{2} =0,1 - 0,004x^{2}.
Logo
g'(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0{,}1 - 0{,}004\,x^{2}=0.

Passo 4

Resolvendo para x,
0{,}004\,x^{2}=0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{0{,}1}{0{,}004}=25 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm5.
No domínio [0,10] só vale x=5.

Passo 5

Para confirmar que é máximo, comparamos valores:
g(0)=0, \quad g(5)=\frac{0,1\cdot5}{1+0,04\cdot25}=\frac{0,5}{2}=0,25, \quad g(10)=\frac{1}{1+4}=0,2.
O maior valor é g(5)=0,25.

Resposta

A razão de sobrevivência é máxima em x=5 metros.

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