- Um certo tipo de faisão foi introduzido numa ilha norte americana e o número de indivíduos é dado por,
.
(a) Calcular
.
(b) Inicialmente a população cresce ou decresce?
(c) Podemos especular sobre um eventual tamanho populacional?
(a)
(b)
cresce inicialmente
(c) Procurando os pontos críticos:
Como
interessa-nos saber o comportamento da função em
. Assim, analisaremos os valores das derivadas primeira e segunda no ponto
.
que nos leva a concluir que em
ocorre um máximo, com
indivíduos.
(a) Calcular
(b) Inicialmente a população cresce ou decresce?
(c) Podemos especular sobre um eventual tamanho populacional?
(a)
(b)
(c) Procurando os pontos críticos:
Como
Passo 1
O enunciado define a população de faisões por
Pede-se (a) a derivada
, (b) verificar se inicialmente a população cresce ou decresce e (c) especular um eventual tamanho populacional. Vamos usar regra do quociente, análise de sinal de
, pontos críticos e estudo de limites.
Passo 2
Para derivar o termo
, aplicamos regra do quociente a
:
Multiplicando por
, obtemos
Passo 3
Para
,
logo, no início a população \emph{cresce}.
Passo 4
Resolvendo
:
(no domínio
). Testando o sinal de
nota-se que
para
e
para
, portanto em
ocorre um \emph{máximo}.
Passo 5
Analisando o limite quando
:
Isso mostra que, no longo prazo, a população tende a
indivíduos.
Resposta
(a)
(b) Inicialmente a população cresce, pois .
(c) Atinge um máximo de indivíduos em
e decresce depois, aproximando-se de
indivíduos quando
.
(b) Inicialmente a população cresce, pois
(c) Atinge um máximo de