Observe que nem sempre uma matriz quadrada possui uma matriz inversa. Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] não tem inversa.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
não tem inversa.
Informações dadas: as entradas da matriz são 0,0,1,1 dispostas conforme mostrado. A única pergunta é provar que A não é invertível (ou seja, que não existe A^{-1} tal que AA^{-1}=A^{-1}A=I).]

Passo 2

O que significa uma matriz ter inversa? Vou explicar de forma prática e didática. Uma matriz quadrada A é invertível se existe outra matriz B da mesma ordem tal que
AB=BA=I,
onde I é a matriz identidade (para 2\times2, I=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}). Intuitivamente, multiplicar por B “desfaz” a multiplicação por A, como dividir por um número diferente de zero. Se não existir tal B, dizemos que A não é invertível.]

Passo 3

Para matrizes 2\times2 existe um teste simples usando o determinante. Considere uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
O determinante de M é definido por
\det(M)=ad-bc.
Propriedade importante e muito usada: a matriz M é invertível se, e somente se, \det(M)\neq 0. Quando \det(M)\neq 0 a inversa de M é dada pela fórmula
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação curta do porquê: se multiplicarmos M por essa matriz à direita, os produtos de linha por coluna geram uma matriz cujo cada elemento é dividido por \det(M), resultando em I. Se \det(M)=0 essa fórmula pede divisão por zero, e também geometrica/linearmente significa que as colunas (ou linhas) de M são linearmente dependentes, então não há transformação reversível.]

Passo 4

Agora aplicamos isso a A. Tomando
A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
identificamos a=0, b=0, c=1, d=1. Calculamos o determinante:
\det(A)=a d - b c = 0\cdot 1 - 0\cdot 1 = 0 - 0 = 0.]

Passo 5

Como \det(A)=0, pela propriedade do passo anterior, a matriz A não é invertível. Em palavras: não existe matriz B tal que AB=BA=I, porque a fórmula da inversa exigiria dividir por zero.

Passo 6

Se você gostar de ver outra explicação alternativa (que ajuda a intuir o que está acontecendo): observe as colunas de A. A primeira coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} e a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}. As duas colunas são iguais, portanto são linearmente dependentes; a matriz tem posto 1 (menor que 2), logo não é invertível. Mesmo argumento, visão geométrica: a transformação linear associada a A comprime o plano em uma reta, não sendo bijetiva, então não tem inversa.]

Resposta

A matriz A não tem inversa, pois \det(A)=0.

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