Mostre que as matrizes a seguir são uma inversa da outra verificando que A A^{-1}=I
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 3\end{array}\right], \quad A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -6 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -2 & 4 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as duas matrizes dadas são inversas, isto é, mostrar que o produto A A^{-1} é a matriz identidade I. As informações fornecidas são as matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 3\end{pmatrix}
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -6 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -2 & 4 & 1\end{pmatrix}
O que precisamos calcular é o produto A A^{-1} e verificar que ele coincide com
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembrete didático sobre multiplicação de matrizes 3×3: se C=AB com A e B 3\times3, então o elemento da linha i coluna j de C, denotado por c_{ij}, é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\, b_{kj}.
Aqui a_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A, e b_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B. Na prática, para calcular c_{ij} fazemos o produto escalar entre a linha i de A e a coluna j de B. Vamos aplicar isso linha a linha.

Passo 3

Calcular os elementos da primeira linha do produto AA^{-1}.
Para (1,1):
(AA^{-1})_{11}=1\cdot 3 + 2\cdot 0 + 1\cdot(-2)=3+0-2=1.
Para (1,2):
(AA^{-1})_{12}=1\cdot(-6)+2\cdot 1 + 1\cdot 4 = -6+2+4=0.
Para (1,3):
(AA^{-1})_{13}=1\cdot(-1)+2\cdot 0 + 1\cdot 1 = -1+0+1=0.

Passo 4

Calcular os elementos da segunda linha do produto AA^{-1}.
Para (2,1):
(AA^{-1})_{21}=0\cdot 3 + 1\cdot 0 + 0\cdot(-2)=0+0+0=0.
Para (2,2):
(AA^{-1})_{22}=0\cdot(-6)+1\cdot 1 + 0\cdot 4 = 0+1+0=1.
Para (2,3):
(AA^{-1})_{23}=0\cdot(-1)+1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0+0+0=0.

Passo 5

Calcular os elementos da terceira linha do produto AA^{-1}.
Para (3,1):
(AA^{-1})_{31}=2\cdot 3 + 0\cdot 0 + 3\cdot(-2)=6+0-6=0.
Para (3,2):
(AA^{-1})_{32}=2\cdot(-6)+0\cdot 1 + 3\cdot 4 = -12+0+12=0.
Para (3,3):
(AA^{-1})_{33}=2\cdot(-1)+0\cdot 0 + 3\cdot 1 = -2+0+3=1.

Passo 6

Agora montamos a matriz produto com os elementos calculados. Os elementos obtidos formam:
AA^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é exatamente a matriz identidade I. Portanto foi verificado que A^{-1} realmente é a inversa de A.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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