Obtain the transfer matrix of the system defined by
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \\\ \dot{x}_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -2 & -4 & -6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} u_{1} \\\ u_{2} \end{array}\right]} \\\ & {\left[\begin{array}{l} y_{1} \\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um sistema no espaço de estados
\dot x = A\,x + B\,u,\qquad y = C\,x
com
A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]-2 & -4 & -6\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Queremos a matriz de transferência
G(s) \;=\; C\,(sI - A)^{-1}B.]

Passo 2

Escrevemos as equações em domínio de Laplace, denotando X_i,\,U_j como transformadas de x_i,\,u_j. As três equações são
\begin{cases} sX_1 - X_2 = 0,\\[4pt] sX_2 - X_3 = U_2,\\[4pt] sX_3 +6X_3 +4X_2 +2X_1 = U_1. \end{cases}]

Passo 3

Da primeira equação vem
X_2 = s\,X_1.
Da segunda equação vem
X_3 = s\,X_2 - U_2 = s^2\,X_1 - U_2.

Passo 4

Substituindo X_2 e X_3 na terceira equação, obtemos
(s+6)(s^2\,X_1 - U_2) +4(s\,X_1) +2X_1 = U_1,
ou seja
\bigl(s^3 +6s^2 +4s +2\bigr)\,X_1 \;-\;(s+6)\,U_2 = U_1.
Logo
X_1 = \frac{U_1 + (s+6)\,U_2}{s^3 +6s^2 +4s +2}.

Passo 5

Como X_2 = s\,X_1, segue que
X_2 = \frac{s\;U_1 + s(s+6)\,U_2}{s^3 +6s^2 +4s +2}.
Como y_1 = X_1 e y_2 = X_2, a matriz de transferência é
G(s) \;=\; \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{X_1}{U_1} & \displaystyle \frac{X_1}{U_2}\\[8pt] \displaystyle \frac{X_2}{U_1} & \displaystyle \frac{X_2}{U_2} \end{pmatrix} \;=\; \frac{1}{s^3 +6s^2 +4s +2} \begin{pmatrix} 1 & s+6\\[6pt] s & s(s+6) \end{pmatrix}.]

Resposta

G(s) \;=\; \frac{1}{s^3 +6s^2 +4s +2} \begin{pmatrix} 1 & s+6\\[6pt] s & s(s+6) \end{pmatrix}.]

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