Consider the system described by
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{rr} -4 & -1 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \end{array}\right] u \\\ y & =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right] \end{aligned}
Obtain the transfer function of the system.

Passo 1

O enunciado dá o sistema no espaço de estados
\dot{x} = A\,x + B\,u, \quad y = C\,x,
com
A = \begin{pmatrix}-4 & -1 \\\\ 3 & -1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},\quad D = 0.
Pede-se a função de transferência G(s) entre u e y.

Passo 2

Pela teoria de espaço de estados, a função de transferência é
G(s) = C\,(sI - A)^{-1} B + D.

Passo 3

Calculamos a matriz sI - A:
sI - A = \begin{pmatrix}s - (-4) & 0 - (-1) \\[4pt] 0 - 3 & s - (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s+4 & 1 \\\\ -3 & s+1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Determinante de sI - A:
\det(sI - A) = (s+4)(s+1) - (1)(-3) = s^2 +5s +4 +3 = s^2 +5s +7.
Assim, a inversa é
(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 +5s +7} \begin{pmatrix}s+1 & -1 \\[4pt] 3 & s+4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicamos (sI - A)^{-1} por B e depois por C:
(sI - A)^{-1}B = \frac{1}{s^2+5s+7} \begin{pmatrix}(s+1)\cdot1 + (-1)\cdot1 \\[4pt] 3\cdot1 + (s+4)\cdot1\end{pmatrix} = \frac{1}{s^2+5s+7} \begin{pmatrix}s \\\ s+7\end{pmatrix}.
Em seguida
G(s) = C\,(sI - A)^{-1}B = \frac{1\;\;0}{ } \begin{pmatrix}s/(s^2+5s+7) \\[2pt] (s+7)/(s^2+5s+7)\end{pmatrix} = \frac{s}{s^2 +5s +7}.]

Resposta

A função de transferência do sistema é
G(s) = \frac{s}{s^2 +5s +7}.

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