Consider a system defined by the following statespace equations:
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{rr} -5 & -1 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 5 \end{array}\right] u \\\ y & =\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right] \end{aligned}
Obtain the transfer function G(s) of the system.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de espaço de estados com
A = \begin{pmatrix}-5 & -1 \\[6pt] 3 & -1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2\\[3pt]5\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix},
sem termo de passagem direta D=0. Queremos achar a função de transferência
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C\,(sI - A)^{-1}B.]

Passo 2

Primeiro montamos a matriz (sI - A). Como
A = \begin{pmatrix}-5 & -1\\[3pt]3 & -1\end{pmatrix},
temos
sI - A = \begin{pmatrix}s & 0\\[3pt]0 & s\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-5 & -1\\[3pt]3 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s+5 & 1\\[3pt]-3 & s+1\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det(sI - A) = (s+5)(s+1) - (1)(-3) = s^2 + 6s + 5 + 3 = s^2 + 6s + 8.]

Passo 3

A inversa de (sI - A) fica
(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 + 6s + 8} \begin{pmatrix} s+1 & -1\\[3pt] 3 & s+5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora multiplicamos (sI - A)^{-1}B:
(sI - A)^{-1}B = \frac{1}{s^2 + 6s + 8} \begin{pmatrix} s+1 & -1\\[3pt] 3 & s+5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[3pt]5\end{pmatrix} = \frac{1}{s^2 + 6s + 8} \begin{pmatrix} 2(s+1) - 5\\[4pt] 6 + 5(s+5) \end{pmatrix} = \frac{1}{s^2 + 6s + 8} \begin{pmatrix} 2s - 3\\[3pt] 5s + 31 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Por fim aplicamos C a esse resultado:
G(s) = C\,(sI - A)^{-1}B = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix} \frac{1}{s^2 + 6s + 8} \begin{pmatrix} 2s - 3\\[3pt] 5s + 31 \end{pmatrix} = \frac{(2s - 3) + 2(5s + 31)}{s^2 + 6s + 8} = \frac{12s + 59}{s^2 + 6s + 8}.]

Resposta

G(s) = \frac{12s + 59}{s^2 + 6s + 8}.

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