Obtenha o ângulo entre os pares de vetores de R^{2}.
u=(3,1) e v=(2,2)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores u=(3,1) e v=(2,2) em \mathbb{R}^2. Para isso, usaremos a fórmula
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|},
onde \langle u,v\rangle é o produto interno e \|\cdot\| é a norma do vetor.

Passo 2

Calcular o produto interno
\langle u,v\rangle = 3\cdot2 + 1\cdot2 = 8.

Passo 3

Calcular as normas
\|u\| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10},
\|v\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno
\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{10}\,\bigl(2\sqrt{2}\bigr)} = \frac{8}{2\sqrt{20}} = \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Obter o ângulo
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr).
Em radianos, \theta\approx0,4636. Em graus, \theta\approx26,565^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr)\approx0,4636\text{ rad}\approx26,565^\circ

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