Obtenha o ângulo entre os pares de vetores de R^{2}.
u=(0,2) e v=(-1,-1)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores em \mathbb{R}^2
u = (0,2) \quad\text{e}\quad v = (-1,-1).
O conteúdo aqui envolve produto interno, norma de vetor e a fórmula do ângulo \theta
\cos(\theta) = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.

Passo 2

Calcular o produto interno u\cdot v. Pelas componentes,
u\cdot v = 0\cdot(-1) + 2\cdot(-1) = -2.

Passo 3

Calcular as normas \|u\| e \|v\|.
\|u\| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2, \qquad \|v\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos(\theta) = \frac{-2}{2 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Encontrar \theta usando a função arco-cosseno. Sabendo que
\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = 135^\circ.

Resposta

O ângulo entre u e v é 135^\circ.

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